Числа и их свойства

ЕГЭ 2019

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 2

Katex

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя - на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex

Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя - на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.
а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Готовься с нами на курсе

Пока ты откладываешь, другие уже набирают 90+ баллов. А ты?

Задание 4

Katex

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 5

Katex

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры - прямоугольные параллелепипеды с размерами \(1 \times 1 \times 3\) м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?
в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex

Последовательность натуральных чисел \((a_n)\) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность \((a_n)\) содержать ровно 5 различных чисел?
б) Чему может равняться \(a_1\), если \(a_{100}=75\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности \((a_n)\) ?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2 .
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex

В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex

В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex

В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8 . Может ли \(n\) быть больше 7?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?
в) Известно, что \(n=4\). Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex

В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли \(n\) быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2 , а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что \(n=6\). Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму - целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма - это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел \(a_1, \ldots, a_n\) равно \(\sqrt[n{a_1 \cdot \ldots a_n}\). Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов - различные целые числа.
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex

Квадратное уравнение \(x^2+p x+q=0\) имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть \(q=55\). Найдите все возможные значения \(p\).
б) Пусть \(p+q=30\). Найдите все возможные значения \(q\).
в) Пусть \(q^2-p^2=2108\). Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex

Квадратное уравнение \(x^2+p x+q=0\) имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть \(q=34\). Найдите все возможные значения \(p\).
б) Пусть \(p+q=22\). Найдите все возможные значения \(q\).
в) Пусть \(q^2-p^2=2812\). Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером \(1 \times 1 \times 3\). При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 18

Katex

Последовательность \((a_n)\) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90. го, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.
а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?
б) Чему может быть равно \(a_{100}\), если \(a_1=89\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса