Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника равен \(66^\circ\). Найдите угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\), проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A, D, A_1, B, C, B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AB=3, AD=4, AA_1=5\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{19+5x}=2\).
Найдите значение выражения \(\sqrt{48}\cos^2{\dfrac{19\pi}{12}}-\sqrt{12}\).
На рисунке изображён график \(y=f'\left(x\right)\) - производной функции \(f\left(x\right)\), определённой на интервале \(\left(-11; 11\right)\). Найдите количество точек экстремума функции \(f\left(x\right)\), принадлежащих отрезку \(\left[-10;10\right]\).
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\upsilon=3\) моля воздуха объёмом \(V_1=8\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \upsilon T\log _2 \frac{{V_1 }}{{V_2 }}\), где \(\alpha=5,75 \frac{\textrm{Дж}}{\textrm{моль} \cdot \textrm{К}}\) - постоянная, а \(T = 300\) К - температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(10350\) Дж.
На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=a^{x} +b\). Найдите \(f\left(-8\right)\).
Найдите точку минимума функции \(y=x^3-3x^2+2\).
а) Решите уравнение
Дан тетраэдр \(ABCD\). Точки \(K, L, M\) и \(N\) лежат на ребрах \(AC, AD, DB\) и \(BC\) соответственно, так, что четырехугольник \(КLMN\) квадрат со стороной \(2\).
\(AK:KC=2:3\).
a) Докажите, что \(BM:MD=2:3\).
б) Найдите расстояние от точки \(С\) до плоскости \(KLMN\), если объем тетраэдра равен \(25\).
Решите неравенство
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(25\%\) по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(65 500\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
Точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\). Прямая, проходящая через точку \(A\), касается окружности с диаметром \(BC\) в точке \(M\) и второй раз пересекает окружность с диаметром \(AB\) в точке \(K\). Продолжение отрезка \(MB\) пересекает окружность с диаметром \(AB\) в точке \(D\).
а) Докажите, что прямые \(AD\) и \(MC\) параллельны.
б) Найдите площадь треугольника \(DBC\), если \(AK=5\) и \(KM=25\).
Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.
a) Можно ли получить из число \(128\) число \(29\)?
б) Можно ли получить из число \(128\) число \(31\)?
в) Какое наименьшее число можно было получить из числа \(128\)?