ЕГЭ 2022
Найдите корень уравнения \(6^{x-5}=36\)
Найдите значение выражения \(\sqrt{8}-\sqrt{32} \sin ^{2} \frac{7\pi}{8}\).
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) км/ч\(^{2}\). Скорость вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2 l a}\), где \(l\) - пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав \(0,8\) километра, приобрести скорость \(160\) км/ч. Ответ выразите в км/ч\(^{2}\).
На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=\dfrac{k}{x} +a\). Найдите \(f\left(-12\right)\).
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]\)
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены середины \(M\) и \(N\) отрезков \(AB\) и \(AD\) соответственно.
a) Докажите, что прямые \(B_1N\) и \(CM\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \(B_1N=3\sqrt{5}\).
Решите неравенство
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб, а в третий 417,6 тыс. руб.
На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) отмечена точка \(M\) такая, что треугольник \(AMC\) - равнобедренный, так что \(AM=MC\).
а) Докажите, что центр окружности вписанной в треугольник \(AMD\) окружности лежит на диагонали параллелограмма.
б) Найти радиус окружности вписанной в треугольник \(AMD\), если известно, что \(AB = 7\), \(BC = 21\), а \(\angle DAB=60^{
\circ}\).
Дан треугольник \(A B C\), в котором проведены три высоты \(-A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\). Через точку \(C_{1}\) проведена прямая, параллельная \(B B_{1}\), которая пересекает \(A A_{1}\) в точке \(K . H\) - точка пересечение высот треугольника \(A B C\).
а) Докажите, что \(A B \cdot K H=B C \cdot C_{1} H\).
б) Найдите отношение площадей треугольников \(A B C\) и \(C_{1} K H\), если \(A B=4, B C=5\) и \(A C=\sqrt{17}\).
На стороне \(B C\) треугольника \(A B C\) отмечена точка \(D\) так, что \(A B=B D\). Биссектриса \(B F\) треугольника \(A B C\) пересекает прямую \(A D\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(A D\) опущен перпендикуляр \(C K\).
а) Докажите, что \(A B: B C=A E: E K\).
б) Найдите отношение площади треугольника \(A B E\) к площади четырёхугольника \(C D E F\), если \(B D: D C= 3: 2\).
Биссектриса \(BB_1\) и высота \(CC_1\) треугольника \(ABC\) пересекают описанную окружность в точках \(M\) и \(N\). Известно, что \(\angle BCA=85^{\circ}\) и \(\angle ABC=40^{\circ}\).
а) Докажи, что \(CN=BM\).
б) Пусть \(MN\) и \(BC\) пересекаются в точке \(D\). Найти площадь треугольника \(BDN\), если его высота \(BH\) равна \(7\).
B параллелограмме \(A B C D\) угол \(BAC\) в два раза больше угла \(CAD\). Проведена биссектриса угла \(BAC\), причём \(L\) - точка пересечения биссектрисы с \(BC\). Точка \(E\) лежит на продолжении \(CD\) за точку \(D\), причём \(A E=C E\).
а) Докажите, что \(A B \cdot A C=A L \cdot B C\).
б) \(A C=12, \tg \angle B A C=\dfrac{1}{4}\), найдите \(E L\).
Найдите все значение параметра \(a\) при каждом из которых уравнение
имеет 4 решения.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 201?
б) Может ли результатом выполнения быть число 251?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трехзначных чисел от 600 до 999 включительно?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй 59, а в третьей – 18?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 141 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?