ЕГЭ 2022

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ км/ч$^{2}$. Скорость вычисляется по формуле $v=\sqrt{2 l a}$, где $l$ - пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0,8$ километра, приобрести скорость $160$ км/ч. Ответ выразите в км/ч$^{2}$.

На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=\dfrac{k}{x} +a$. Найдите $f\left(-12\right)$.

а) Решите уравнение

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены середины $M$ и $N$ отрезков $AB$ и $AD$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1N=3\sqrt{5}$.

Решите неравенство

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $M$ такая, что треугольник $AMC$ - равнобедренный, так что $AM=MC$.

а) Докажите, что центр окружности вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали параллелограмма.

б) Найти радиус окружности вписанной в треугольник $AMD$, если известно, что $AB = 7$, $BC = 21$, а $\angle DAB=60^{ \circ}$.

Дан треугольник $A B C$, в котором проведены три высоты $-A A_{1}, B B_{1}$ и $C C_{1}$. Через точку $C_{1}$ проведена прямая, параллельная $B B_{1}$, которая пересекает $A A_{1}$ в точке $K . H$ - точка пересечение высот треугольника $A B C$.

а) Докажите, что $A B \cdot K H=B C \cdot C_{1} H$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $A B C$ и $C_{1} K H$, если $A B=4, B C=5$ и $A C=\sqrt{17}$.

На стороне $B C$ треугольника $A B C$ отмечена точка $D$ так, что $A B=B D$. Биссектриса $B F$ треугольника $A B C$ пересекает прямую $A D$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $A D$ опущен перпендикуляр $C K$.

а) Докажите, что $A B: B C=A E: E K$.

б) Найдите отношение площади треугольника $A B E$ к площади четырёхугольника $C D E F$, если $B D: D C= 3: 2$.

Биссектриса $BB_1$ и высота $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность в точках $M$ и $N$. Известно, что $\angle BCA=85^{\circ}$ и $\angle ABC=40^{\circ}$.

а) Докажи, что $CN=BM$.

б) Пусть $MN$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Найти площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $7$.

B параллелограмме $A B C D$ угол $BAC$ в два раза больше угла $CAD$. Проведена биссектриса угла $BAC$, причём $L$ - точка пересечения биссектрисы с $BC$. Точка $E$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, причём $A E=C E$.

а) Докажите, что $A B \cdot A C=A L \cdot B C$.

б) $A C=12, \tg \angle B A C=\dfrac{1}{4}$, найдите $E L$.

Найдите все значение параметра $a$ при каждом из которых уравнение