У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в 𝐵 со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.

На изготовление 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.

На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 5𝑥 + 9 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.

Найдите точку максимума функции

Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [1; 10]

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [︂ 5𝜋/2 ; 4𝜋]︂ .

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3𝜋/2 ; 3𝜋]︂.

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3𝜋; −5𝜋/2]︂ .

Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁ является параллелограмм. На рёбрах 𝐴₁𝐵₁, 𝐵₁𝐶₁ и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵₁𝐾 : 𝐾𝐶₁ = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что 𝑁 – середина 𝐵𝐶.
б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁 , если объём призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁ равен 12, а ее высота равна 2

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с
основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. 𝑀 – точка, которая делит сторону 𝐴₁𝐷₁ в отношении 1:4, 𝐾 – середина 𝐷𝐷₁.
a) Доказать, что 𝑀𝐶𝐾||𝐵𝐷.
б) Найти тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания, если ∠𝐵𝐴𝐷 = 60^∘, а ∠𝐶𝐾𝑀 = 90^∘.

Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴₁𝐵₁𝐶₁. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 3 : 1. Точка 𝑄 делит пополам ребро 𝐵₁𝐶₁. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная 𝑃𝑄.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃𝑄, если 𝐴𝐴₁ = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3/5.

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб.
– в январе начисляется 𝑟% по кредиту.
с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую-то сумму.
– в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб.
– с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму.
– к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.

В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб.
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму;
– с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму;
– к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
— в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.
Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.

𝐴𝐵𝐶 равносторонний треугольник. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.
а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾.
б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀 :𝐶𝑀 = 1:4.

Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂, 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂.
а) Докажите, что точки 𝑀 , 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой.
б) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵, если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶:𝐴𝐷 = 1:7.

Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀 , диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁 , причем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 =1:2, 𝐵𝑁:𝑁𝐷 = 1:3.
а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2.
б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет ровно 2 различных решения.

Дана правильная несократимая дробь 𝑎/𝑏 . За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь (𝑎+𝑏)/(𝑏+2𝑎) .
a) Можно ли из дроби 2/3 получить дробь 29/41 .
б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 6/7 за 2 хода.
в) Дробь с/𝑑 больше 7/10 . Найдите минимальную дробь c/𝑑 , которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Есть числа 𝐴 и 𝐵. Из них можно сделать числа 𝐴 + 2 и 𝐵 − 1 или 𝐵 + 2 и 𝐴 − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что 𝐴 = 7, 𝐵 = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%.
а) Может ли в классе быть 9 девочек?
б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)

В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные)
а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46.
a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых 𝑆 = 100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В. для которых 𝑆 = 400?
B) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел А и В?

На доске написано трёхзначное число 𝐴. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число 𝐵, затем Коля записывает число 𝐴 и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число 𝐶.
а) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 𝐴 > 140?
б) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 440 ⩽ 𝐴 < 500?
в) Найдите наибольшее число 𝐴 до 900, для которого выполняется 𝐴 = 𝐵 ·𝐶