Вариант

ЕГЭ 2023

Telegram основной

ВКонтакте

Другие бесплатные материалы от Профиматики

⬈

Telegram для преподавателей

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Задание 1

Показать ответ и решение

+

Ответ: 6

Задание 1

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 20. Точка 𝐹 – середина стороны 𝐵𝐶. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐹𝐶𝐷.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 15

Задание 2

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 24

Задание 2

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 12. Найдите объём конуса.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 4

Задание 3

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 0,92

Задание 3

В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 7 из Румынии, остальные из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии

Показать ответ и решение

+

Ответ: 0,48

Задание 4

В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Показать ответ и решение

+

Ответ: 0,16

Задание 4

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 0,096

Задание 5

Katex

Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{(x-8)}=\dfrac{1}{9}\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 10

Задание 5

Katex

Найдите корень уравнения \(3^{x-2}=81\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 6

Задание 6

Katex

Найдите значение выражения \(\log_{\sqrt[6]{13}}13\).

Показать ответ и решение

+

Ответ: 6

Задание 6

Katex

Найдите значение выражения \(\log_{0,7}{10}-\log_{0,7}{7}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ: -1

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции 𝑓(𝑥) определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции 𝑓(𝑥) на отрезке [−13; 1].

Показать ответ и решение

+

Ответ: 1

Задание 7

На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓′(𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены 𝑛 точек:
𝑥 = {𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, ..., 𝑥_𝑛}. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции 𝑓(𝑥)?

Показать ответ и решение

+

Ответ: 4

Задание 8

Katex

К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 55\) В и внутренним сопротивлением \(r = 0,5\) Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой \(U = \frac{{\varepsilon R}}{{R + r}}\). При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 5

Задание 8

Katex

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 598 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле \(v =c\cdot \dfrac{f-f_0}{f+f_0}\), где \(c=1500\) м/с - скорость звука в воде, \(f_0\) - частота испускаемых импульсов, \(f\) - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала \(f\), если скорость погружения батискафа не должна превышать 5 м/c. Ответ дайте в МГц.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 602

Задание 9

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в 𝐵 со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 10

Задание 9

На изготовление 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Показать ответ и решение

+

Задание 10

Katex

На рисунке изображены графики функций \(f\left(x\right)=a\sqrt{x}\) и \(g\left(x\right)=kx+b\), которые пересекаются в точке \(A\). Найдите абсциссу точки \(A\).

Ответ: 6

Показать ответ и решение

+

Ответ: 36

Задание 10

На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 5𝑥 + 9 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 6

Задание 11

Katex

Найдите точку максимума функции \(y = -\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ: 9

Задание 11

Katex

Найдите наименьшее значение функции \(y = 7+6x-2x\sqrt{x}\) на отрезке \([1;10]\).

Показать ответ и решение

+

Ответ: 15

Задание 12

Katex

а) Решите уравнение

\(2\sin^2{x}\cos{x}+\sqrt{3}\cos^2{x}=\sqrt{3}.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]\)

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex

а) Решите уравнение

\(\sin{x}\cos{2x}-\sqrt{2}\cos^2{x} + \sin{x}=0.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]\)

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex

а) Решите уравнение

\(2\cos^3{x} = \sqrt{3}\sin^2{x}+2\cos{x}.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]\)

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁ является параллелограмм. На рёбрах 𝐴₁𝐵₁, 𝐵₁𝐶₁ и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵₁𝐾 : 𝐾𝐶₁ = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что 𝑁 – середина 𝐵𝐶.
б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁 , если объём призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁ равен 12, а ее высота равна 2

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с
основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. 𝑀 – точка, которая делит сторону 𝐴₁𝐷₁ в отношении 1:4, 𝐾 – середина 𝐷𝐷₁.
a) Доказать, что 𝑀𝐶𝐾||𝐵𝐷.
б) Найти тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания, если ∠𝐵𝐴𝐷 = 60^∘, а ∠𝐶𝐾𝑀 = 90^∘.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 16/25

Задание 13

Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴₁𝐵₁𝐶₁. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 3 : 1. Точка 𝑄 делит пополам ребро 𝐵₁𝐶₁. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная 𝑃𝑄.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃𝑄, если 𝐴𝐴₁ = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3/5.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{\log_2{x^2}-\log_3{x^2}}{\log^2_6{(2x^2-10x+12,5)}+1} \leqslant 0.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑥 ∈ [−1; 0) ∪ (0; 1]

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\log_{25}{((x-4)(x^2-2x-8))} \geqslant 0,5\log_5{(x-4)^2}.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑥 ∈[︂ −49/25; 4)︂ ∪ (4; +∞)

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\left(\log^2_{0,25}{(x+3)} - \log_4{\left(x^2+6x+9\right)} + 1\right)\log_4{(x+2)} \leqslant 0.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑥 ∈ (−2; −1] ∪ {1}

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\log_8{(x-1)^3} \geqslant \log_2{(x^2-1)} - 5.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑥 ∈ (1; 31]

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{\log_3{(3-x)} - \log_3{(x+2)}}{\log^2_3{x^2} + \log_3{x^4}+1} \geqslant 0.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex

Решите неравенство

\(\log_{0,1}{(x^3 - 5x^2 -25x+125)} \leqslant \log_{0,01}{(x-5)^4}.\)

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑥 ∈ [−4; 5) ∪ (5; +∞)

Задание 15

В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб.
– в январе начисляется 𝑟% по кредиту.
с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую-то сумму.
– в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб.
– с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму.
– к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 20

Задание 15

В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб.
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму;
– с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму;
– к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 220

Задание 15

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
— в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.
Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 1300 тысяч рублей

Задание 16

𝐴𝐵𝐶 равносторонний треугольник. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.
а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾.
б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀 :𝐶𝑀 = 1:4.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 3:2

Задание 16

Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂, 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂.
а) Докажите, что точки 𝑀 , 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой.
б) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵, если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶:𝐴𝐷 = 1:7.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 1:2

Задание 16

Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀 , диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁 , причем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 =1:2, 𝐵𝑁:𝑁𝐷 = 1:3.
а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2.
б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 1:2

Задание 17

Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} (x^2+y^2+6x)\sqrt{x+y+6}=0,\\ y=x+a. \end{cases}\)

имеет ровно 2 различных решения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} (xy-x+7)(y-x+7)=0,\\ y=3x+a. \end{cases}\)

имеет ровно 2 различных решения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} (xy-x+8)\sqrt{y+x+8}=0,\\ y=2x+a. \end{cases}\)

имеет ровно 2 различных решения.

Показать ответ и решение

+

Ответ: 𝑎 ∈ {9} ∪ {−7} ∪ (−16; −9]

Задание 17

Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} (x^2-7x+8-y)\sqrt{x-y+8}=0,\\ y=ax+a. \end{cases}\)

имеет ровно 2 различных решения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=a(x-2). \end{cases}\)

имеет ровно 2 различных решения.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 18

Дана правильная несократимая дробь 𝑎/𝑏 . За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь (𝑎+𝑏)/(𝑏+2𝑎) .
a) Можно ли из дроби 2/3 получить дробь 29/41 .
б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 6/7 за 2 хода.
в) Дробь с/𝑑 больше 7/10 . Найдите минимальную дробь c/𝑑 , которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 5/7

Задание 18

Есть числа 𝐴 и 𝐵. Из них можно сделать числа 𝐴 + 2 и 𝐵 − 1 или 𝐵 + 2 и 𝐴 − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что 𝐴 = 7, 𝐵 = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Да, б) Нет, в) Верно

Задание 18

В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%.
а) Может ли в классе быть 9 девочек?
б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 50

Задание 18

В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные)
а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Нет, б) 291, в) 390

Задание 18

Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46.
a) Существуют ли трёхзначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 100?
б) Существуют ли пятизначные числа 𝐴 и 𝐵. для которых 𝑆 = 400?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел 𝐴 и 𝐵?

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Да, б) Нет, в) Да

Задание 18

На доске написано трёхзначное число 𝐴. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число 𝐵, затем Коля записывает число 𝐴 и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число 𝐶.
а) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 𝐴 > 140?
б) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 440 ⩽ 𝐴 < 500?
в) Найдите наибольшее число 𝐴 до 900, для которого выполняется 𝐴 = 𝐵 ·𝐶

Показать ответ и решение

+

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 810