Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐴𝐵𝐶 равен 110^∘, угол 𝐴𝐵𝐷 равен 70^∘. Найдите угол 𝐶𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 𝑣₀ = 23 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 𝑎 = 2 м/с². За t – секунд после начала торможения он прошёл путь 𝑆 = 𝑣₀𝑡 − 𝑎𝑡²/2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте
в секундах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇⁴, где 𝑃 — мощность излучения звезды (в Ваттах), 𝜎 = 5,7 · 10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴) — постоянная, 𝑆 — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а 𝑇 — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1/729 · 10²⁰ м², а мощность её излучения равна 5,13 · 10²⁵ Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 6 минут, а одна Таня – за 24 минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй – за 30 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎^𝑥. Найдите 𝑓 (4).

На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑘/𝑥. Найдите 𝑓 (10).

Найдите точку минимума функции 𝑦 = 5𝑥 − ln (𝑥 − 7)

Найдите точку минимума функции 𝑦 = 2/3𝑥^3/2 − 2𝑥 + 1

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7𝜋/2; −2𝜋]︂ .

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [︂ 3𝜋/2 ; 3𝜋]︂ .

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку[︂−7𝜋/2 ; −2𝜋]︂ .

а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку[︂ 2𝜋; 7𝜋/2]︂ .

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 10. Точка 𝑂 – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой 𝑆𝐴 и проходящая через точку 𝑂, пересекает рёбра 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Точка 𝑁 делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 𝑆𝑁 : 𝑁𝐷 = 2 : 3.
а) Докажите, что точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝑁 пересекает грань 𝑆𝐵𝐶.

Дана правильная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶, точки 𝐾 и 𝑀 – середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 соответственно. Точки 𝑁 и 𝐿 на сторонах 𝐵𝐶 и 𝑆𝐴 соответственно расположены таким образом, что 𝐿𝐴 = 4𝑆𝐿 и прямые 𝑁𝐿 и 𝑀𝐾 пересекаются.
а) Докажите, что прямые 𝐿𝐾, 𝑀𝑁 и 𝐵𝑆 пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 𝐶𝑁:𝑁𝐵.

В правильном тетраэдре 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины ребер 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 перпендикулярна прямой 𝑀𝑁 и пересекает ребро 𝐵𝐶 в точке 𝐾.
а) Докажите, что прямая 𝑀𝑁 перпендикулярна ребрам 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если известно,
что 𝐵𝐾 = 1, 𝐾𝐶 = 5.

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долго.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за 4 года) и общая сумма платежей составит 375000 рублей.

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долго.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (т.е. за 3 года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65500 рублей больше
суммы, взятой в кредит?

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 720 тыс.руб. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- в июле 2027, 2028, 2029 годов долг остается равным 720 тыс. руб.
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны.
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 – вписанный пятиугольник. 𝑀 – точка пересечения диагоналей 𝐵𝐸 и 𝐴𝐷. Известно, что 𝐵𝐶𝐷𝑀 – параллелограмм.
а) Докажите, что стороны пятиугольника равны.
б) Найдите 𝐴𝐵, если известно, что 𝐵𝐸 = 12, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐷 = 9.

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 – вписанный пятиугольник. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸 = 8.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸.
б) Найдите 𝐵𝐸, если известно, что 𝐴𝐷 = 10.

Окружность с центром в точке 𝑂 касается сторон угла с вершиной 𝑁 в точках 𝐴 и 𝐵. Отрезок 𝐵𝐶 – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐶 параллельна биссектрисе угла 𝐴𝑁𝐵.
б) Найдите 𝑁𝑂, если 𝐴𝐵 = 24, 𝐴𝐶 = 10.

Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 24. Точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 6.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90^∘.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет 2 решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет 2 решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений




имеет 2 решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет 4 решения.

Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений



имеет 1 решение.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 50% от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю(в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на две кучки.
a) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?

Есть 29 монет по 5 рублей и 16 монет по 2 рубля
а) можно ли получить 175?
б) можно ли получить 176?
в) сколько нужно добавить монет по 1 рублю, чтобы можно было собрать любую сумму от 1 до 180 включительно?

Над парой целых чисел (𝑎; 𝑏) проводится операция, после которой получается пара (3𝑎 + 𝑏; 3𝑏 − 𝑎).
а) Возможно ли из какой-то пары получить пару (5; 5)?
б) Верно ли, что если пара (𝑐; 𝑑) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (−𝑑; с) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?
в) Зададим расстояние между парами целых чисел (а; 𝑏) и (𝑐; 𝑑) выражением |𝑎 − 𝑐| + |𝑏 − 𝑑|. Найдите наименьшее расстояние от пары (9; 2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.