Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐴𝐵𝐶 равен 110, угол 𝐴𝐵𝐷 равен 70. Найдите угол 𝐶𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах.
Задание 1
Показать ответ и решение
+
Ответ: 40
Задание 1
В четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписана окружность, 𝐴𝐵 = 10, 𝐶𝐷 = 16. Найдите периметр четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 52
Задание 2
Katex

Даны векторы \(\vec{a}(1;1)\) и \(\vec{b}(0;7)\). Найдите длину вектора \(5\vec{a}+\vec{b}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 13
Задание 2
Katex

Даны векторы \(\vec{a}(3;-2)\) и \(\vec{b}(0;1)\). Найдите длину вектора \(\vec{a}\cdot \vec{b}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: -2
Задание 3
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐵1 правильной треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 8
Задание 3
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐵1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, у которого 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐷 = 3, 𝐴𝐴1 = 4
Показать ответ и решение
+
Ответ: 6
Задание 4
В сборнике билетов по математике 52 билета, в тринадцати из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».
Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,25
Задание 4
В группе туристов 20 человек. Их забрасывают в труднодоступный район вертолётом в несколько приёмов по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,25
Задание 5
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,936
Задание 5
Биатлонист стреляет по пяти мишеням — в каждую по одному разу. Вероятность попадания в каждую мишень равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,03
Задание 6
Katex

Найдите корень уравнения \(\sqrt{2x+37}=7\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 6
Задание 6
Katex

Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6-2x}=4\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 4
Задание 7
Katex

Найдите значение выражения \(2\sqrt{3}\cos^2{\dfrac{13\pi}{12}}-\sqrt{3}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 1,5
Задание 7
Katex

Найдите значение выражения \(5\sqrt{2}\cos{\dfrac{3\pi}{8}}\sin{\dfrac{3\pi}{8}}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 2,5
Задание 8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓′(𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 7). В какой точке отрезка [−2; 3] функция 𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
Показать ответ и решение
+
Ответ: 3
Задание 8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓′(𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 16). Найдите количество точек максимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [0; 13].
Показать ответ и решение
+
Ответ: 1
Задание 9
Katex

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \(v_0 = 23\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 2\) м/с\(^2\). За \(t\) - секунд после начала торможения он прошёл путь \(S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}\) (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 11
Задание 9
Katex

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P = \sigma ST^4 \), где \(P\) - мощность излучения звезды (в Ваттах), \(\sigma=5,7 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}\) - постоянная, \(S\) - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а \(T\) - температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{{729}} \cdot 10^{20} \text{м}^2\), а мощность её излучения равна \(5,13\cdot 10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 9000
Задание 10
Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 6 минут, а одна Таня – за 24 минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
Показать ответ и решение
+
Ответ: 8
Задание 10
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй – за 30 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Показать ответ и решение
+
Ответ: 10
Задание 11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥. Найдите 𝑓 (4).
Показать ответ и решение
+
Ответ: 81
Задание 11
Katex

На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=\dfrac{k}{x}\). Найдите \(f\left(10\right)\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,1
Задание 12
Katex

Найдите точку минимума функции \(y=5x-\ln{(x-7)}\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 7,2
Задание 12
Katex

Найдите точку минимума функции \(y=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 4
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(\sin{2x}-\cos(\pi-x)=0.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(\cos{2x}-\sqrt{3}\cos{(x-\pi)}+1=0.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(2\cos^2{x}-\sin{(x-\pi)}-1=0.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(\cos{2x}+\sqrt{3}\sin(x+\pi)-1=0.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 14
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 10. Точка 𝑂 – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой 𝑆𝐴 и проходящая через точку 𝑂, пересекает рёбра 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Точка 𝑁 делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 𝑆𝑁 : 𝑁𝐷 = 2 : 3.
а) Докажите, что точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝑁 пересекает грань 𝑆𝐵𝐶.
Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 14
Дана правильная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶, точки 𝐾 и 𝑀 – середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 соответственно. Точки 𝑁 и 𝐿 на сторонах 𝐵𝐶 и 𝑆𝐴 соответственно расположены таким образом, что 𝐿𝐴 = 4𝑆𝐿 и прямые 𝑁𝐿 и 𝑀𝐾 пересекаются.
а) Докажите, что прямые 𝐿𝐾, 𝑀𝑁 и 𝐵𝑆 пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 𝐶𝑁:𝑁𝐵.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 1:4
Задание 14
В правильном тетраэдре 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины ребер 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 перпендикулярна прямой 𝑀𝑁 и пересекает ребро 𝐵𝐶 в точке 𝐾.
а) Докажите, что прямая 𝑀𝑁 перпендикулярна ребрам 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если известно,
что 𝐵𝐾 = 1, 𝐾𝐶 = 5.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 5
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(3^x-8-\dfrac{2\cdot 3^{x+1}-19}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leqslant \dfrac{1}{3^x-3}.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 0] ∪ (log32; 1) ∪ (1; 2]
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\geqslant \dfrac{3}{8^x-1}+\dfrac{8}{64^x-5\cdot 8^x+4}.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{3^x+9}{3^x-9}+\dfrac{3^x-9}{3^x+9}\geqslant \dfrac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ {1} ∪ (2; +∞)
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{6\cdot 9^{x-1}-10}{81^{x-\frac{1}{2}}-9}\leqslant 1.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ {︂1/2}︂ ∪ (1; +∞)
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{49^x-6\cdot 7^x+3}{7^x-5}+\dfrac{6\cdot 7^x-39}{7^x-7}\leqslant 7^x+5.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 0] ∪ (log75; 1)
Задание 16
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долго.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за 4 года) и общая сумма платежей составит 375000 рублей.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 221 400
Задание 16
В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долго.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (т.е. за 3 года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65500 рублей больше
суммы, взятой в кредит?
Показать ответ и решение
+
Ответ: 122 000
Задание 16
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 720 тыс.руб. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
- в июле 2027, 2028, 2029 годов долг остается равным 720 тыс. руб.
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны.
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 1540 тыс. рублей
Задание 17
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 – вписанный пятиугольник. 𝑀 – точка пересечения диагоналей 𝐵𝐸 и 𝐴𝐷. Известно, что 𝐵𝐶𝐷𝑀 – параллелограмм.
а) Докажите, что стороны пятиугольника равны.
б) Найдите 𝐴𝐵, если известно, что 𝐵𝐸 = 12, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐷 = 9.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 10
Задание 17
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 – вписанный пятиугольник. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸 = 8.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸.
б) Найдите 𝐵𝐸, если известно, что 𝐴𝐷 = 10.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 6,4
Задание 17
Окружность с центром в точке 𝑂 касается сторон угла с вершиной 𝑁 в точках 𝐴 и 𝐵. Отрезок 𝐵𝐶 – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐶 параллельна биссектрисе угла 𝐴𝑁𝐵.
б) Найдите 𝑁𝑂, если 𝐴𝐵 = 24, 𝐴𝐶 = 10.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 169/5
Задание 17
Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 24. Точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 6.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90.
Показать ответ и решение
+
Ответ: 24
Задание 18
Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|. \end{cases}\)


имеет 2 решения.

Показать ответ и решение
+
Ответ: