Стереометрия

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с основанием \(ABCD\), сечение \(\alpha\) проходит через \(AB\) и пересекает \(SC\) и \(SD\) в точках \(N\) и \(M\), \(AB=AM=BN=5MN\).

а) Докажите, что \(SN:NC=1:4\).

б) Найдите тангенс угла между плоскостью \(\alpha\) и основанием пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) известно, что \(AB=2\). Через точку \(O\) — пересечения диагоналей основания \(ABCD\) перпендикулярно ребру \(SC\) проведена плоскость \(\alpha\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(B\) и \(D\).

б) В каком отношении плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SC\), считая от вершины \(S\), если площадь сечения равна \(\sqrt{3}\)?

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(A_1M=2AM, A_1K=KB_1\). Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1\).

б) Найдите площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha\), если все ребра призмы равны 20.

В правильном тетраэдре \(ABCD\). На \(AB, BC\) и \(AD\) отмечены точки \(M, L\) и \(N\) соответственно так, что \(AM:MB=BL:LC=AN:ND=1:4\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(L, M, N\), делит ребро \(CD\) в отношении \(4:1\), считая от вершины \(C\).

б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AB=10\).

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\) правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) и пересекает сторону \(SA\) в точке \(K\). Сечение — правильный треугольник площадью \(2\sqrt{3}\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна \(AC\).

б) Найдите, в каком отношении точка \(K\) делит сторону \(SA\), если объём \(SABCD\) равен \(36\sqrt{6}\) см\(^3\).

Прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), два сечения \(AOB\) и \(BOC\) — являются прямоугольниками. Точка \(O\) центр грани \(A_1B_1C_1D_1\).

а) Доказать, что \(ABCD\) — квадрат.

б) Найти угол между плоскостью \(BOC\) и \(CA_1\).

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через прямую \(BD_1\) параллельно прямой \(AC\) проведена плоскость \(\pi\), причём сечение параллелепипеда плоскостью \(\pi\) представляет собой ромб.

а) Докажите, что \(ABCD\) — квадрат.

б) Найти угол между плоскостью \(\pi\) и плоскостью \(BCC_1\), если \(AD=4\) и \(AA_1=6\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все рёбра равны 7. На его ребре \(BB_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(KB=5\). Через точки \(K\) и \(C_1\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD_1\).

а) Докажите, что \(A_1P:PB_1=3:2\), где \(P\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) с ребром \(A_1B_1\).

б) Найдите длину меньшего из отрезков, на которые плоскость \(\alpha\) делит диагональ \(B_1D\).

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точки \(M\) и \(K\) — середины его ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(B\) параллельно прямым \(A_1M\) и \(B_1K\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(D\).

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью \(\alpha\), если его ребра равны 2.

Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(L\) лежит на стороне \(CC_1\), \(M\) — середина \(A_1B_1\). Точка \(K\) делит \(DC\) таким образом, что \(DK=2KC\). \(AKLM\) — равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что \(CL=2C_1L\).

б) Найдите объём призмы, если известно, что \(AA_1=7\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(N\) — лежит на ребре \(CD\). Известно, что \(CN=2ND, AB=3AA_1, AD=2AA_1\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(A, C_1, N\), делит ребро \(A_1B_1\) в отношении \(2:1\).

б) Найдите площадь сечения плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(AA_1=1\).