Планиметрия
ЕГЭ 2025
Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
б) \(\dfrac{120}{17}\)
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высота \(CC_1\) и медиана \(AA_1\), причём точки \(A, C, A_1, C_1\) лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AA_1 : CC_1=3 :2\) и \(A_1C_1=2\).
б) \(\dfrac{2}{9}\)
В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и медиана \(AM\), угол \(ACB\) равен \(30^{\circ}\). Точка \(H\) лежит на отрезке \(BM\). В треугольнике \(ACM\) проведена высота \(MQ\). Прямые \(MQ\) и \(AH\) пересекаются в точке \(F\). Известно, что \(AM\) — биссектриса угла \(HAC\). a) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника \(CFM\), если \(AB=10\).
б) \(25\sqrt{3}\)
В четырёхугольнике \(KLMN\) вписана окружность с центром в точке \(O\). Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A\), \(\angle MNK=90^{\circ}\), \(\angle KLM=\angle LMN=60^{\circ}\). а) Докажите что точка \(A\) лежит на прямой \(LO\). б) Найдите \(MN\), если \(LA=3\sqrt{3}\).
б) \(3+\sqrt{3}\)
В четырёхугольнике \(KLMN\) вписана окружность с центром в точке \(O\). Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A\), \(\angle N=90^{\circ}, \angle K=\angle L=120^{\circ}\). а) Докажите что точка \(O\) лежит на прямой \(LA\). б) Найдите \(MN\), если \(LA=3\).
б) \(9\sqrt{3}-3\)
Дан остроугольный треугольник \(ABC\). Известно, что \(\angle BAC=2 \angle ABC\). Точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). Вокруг треугольника \(AOC\) описана окружность, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). a) Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(PAC\) подобны. б) Найдите \(AB\), если \(BC=\sqrt{21}\) и \(AC=3\).
б) \(4\)
Дан параллелограмм \(ABCD\) угол \(BAD\) — острый. Проведены высоты \(BP\) и \(BQ\), точка \(P\) лежит на стороне \(AD\), а точка \(Q\) — на стороне \(CD\). На \(AD\) отмечена точка \(M\). Известно, что \(BP=AM\) и \(AB=BQ\). a) Докажите, что \(BM=PQ\). б) Найдите площадь треугольника \(APQ\), если \(BP=AM=8, AB=BQ=10\).
б) \(6\)
Дан ромб \(ABCD\). На диагонали \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM = MN = NC\). Прямая \(BM\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а прямая \(BN\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\). а) Докажите, что площадь четырехугольника \(BPDQ\) равна площади треугольника \(ADC\). б) Найдите \(BD\), если известно, что \(AC = 2\sqrt{3}\) и около пятиугольника \(MNQDP\) можно описать окружность.
б) \(\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)
Дан ромб \(ABCD\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Проведены \(AP\) и \(AQ\) таким образом, что они пересекают диагональ \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. а) Докажите, что сумма площадей треугольников \(BMP\) и \(DNQ\) равна площади треугольника \(AMN\). б) Известно, что в \(CPMNQ\) можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна \(12\sqrt{5}\).
б) \(8\)
На стороне \(AB\) и диагонали \(AC\) квадрата \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, \(AM: MB=1: 10, AN: NC=6: 5\). a) Докажите, что точки \(A, M, N\) и \(D\) лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(AMND\) до прямой \(MN\), если сторона квадрата равна 132.
б) \(\sqrt{61}\)
Дан прямоугольник \(ABCD\). Известно, что \(CD=3 AD\). Точка \(M\) — середина его стороны \(AD\). На стороне \(CD\) отмечена точка \(N\). Известно, что \(CN=2 ND\). Точка \(K\) — середина отрезка \(CM\). a) Докажите, что точки \(B, N\) и \(K\) лежат на одной прямой. б) Найдите длину \(KN\), если известно, что \(AD=4\).
б) \(\sqrt{5}\)
Дан треугольник \(ABC\). Биссектриса угла \(A\) пересекает \(BC\) в точке \(K\), а описанную около треугольника окружность — в точке \(M\). a) Докажите, треугольник \(BCM\) — равнобедренный. б) Найдите радиус описанной окружности около треугольника \(KCM\), если \(AB=8, BC=7, AC=6\).
б) \(\dfrac{8}{\sqrt{15}}\)
В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AM\). Прямая, проходящая через вершину \(B\) перпендикулярно \(AM\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(N\). Известно, что \(AB=6, BC=5, AC=9\). a) Докажите, что биссектриса угла \(C\) делит отрезок \(MN\) пополам. б) Пусть \(P\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\). Найдите отношение \(AP: PN\).
б) \(\dfrac{3}{1}\)
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ
