Числа и их свойства

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2𝑘 различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех 2𝑘 выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б) Может ли число 𝑘 быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа 𝑘.

Записаны 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх или семи из них – целое число.

а) Могут ли быть среди записанных чисел 563 и 1417?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в) Пусть среди записанных чисел есть 1 и \(𝑛^2\), где 𝑛 – натуральное число, большее единицы. Найдите наименьшее возможное 𝑛.

На доске записано 𝑘 последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в) Найдите наибольшее возможное значение 𝑘.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30032.

а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 6?

в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом 𝑛. Найдите наименьшее возможное значение 𝑛.

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 𝐴, среднее арифметическое чисел во второй группе равно 𝐵. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \(\dfrac{A+B}{2}\).

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \(\dfrac{A+B}{2}\).

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \(\dfrac{A+B}{2}\).

Для любых трёх натуральных чисел a, b и c (необязательно различных) вычисляют четвёртое число d по формуле \(d=a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c\).

а) Существуют ли 𝑎, 𝑏 и 𝑐, для которых 𝑑 равно 19?

б) Существуют ли 𝑎, 𝑏 и 𝑐, для которых 𝑑 равно 58?

в) Какое наибольшее значение может принимать 𝑑, если 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — двузначные числа и 𝑑 делится на 4?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 50. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 51, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 24, а потом стало равно 17?

в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 24?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, больших 5, каждое из которых не превосходит 45. После чего все числа на доске уменьшили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 5, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 32, а потом стало равно 39?

в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 32?

На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но превосходят 56, а их среднее арифметическое равно 23. Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше 9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число.

а) может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21?

б) может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21?

в) какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел.