Стереометрия

На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 1 : 2\), на ребре \(BB_1\) — точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 1 : 5\), а точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB = 2\), \(AD = 6\), \(AA_1 = 6\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через вершину \(D_1\)

б) Найдите угол между плоскостью \(E F T\) и плоскостью \(A A_1 B_1\).

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.

а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=10, AB=12\).

B прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB=6\sqrt{2}\), \(AD=10\), \(AA_1=16\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E:EA=5:3\) и \(B_1F:FB=5:11\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через середину \(M\) диагонали \(AC_1\) проведена плоскость \(\alpha\) перпендикулярно этой диагонали, \(AB=5, BC=3, AA_1=4\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(D_1\).

б) Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A_1B_1\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB=2\sqrt{2}, AD=6\), \(AA_1=10\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E:EA=3:2\) и \(B_1F:FB=3:7\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.

а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=6, AB=4\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(B_1N\) и \(CM\) перпендикулярны.

б) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(CM\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1N=6\).

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=2:1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=1:2\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со стороной \(AB=5\) и диагональю \(BD=9\). Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\), а на ребре \(AS\) — точка \(F\) так, что \(SF=BE=4\).

а) Докажите, что плоскость \(CEF\) параллельна ребру \(SB\).

б) Плоскость \(CEF\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\). Найдите расстояние от точки \(Q\) до плоскости \(ABC\).

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение