Планиметрия
Средняя линия
Средней линией треугольника будем называть отрезок, соединяющий середины двух сторон.
▶ 1. Средняя линяя \(A'C'\) треугольника \(ABC\) отсекает от него подобный треугольник \(A'BC'\), причём коэффициент подобия равен \(\dfrac{1}{2}\).
▶ 2. Средняя линяя треугольника параллельна основанию и равна его половине.
▶ 3. Средние линии делят треугольник на \(4\) равных треугольника площади которых равны \(\dfrac{S}{4}\), где \(S\) - площадь исходного треугольника.
Среднией линией трапеции будем называть отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
▶ 4. Средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
▶ 5. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности длин оснований.
▶ 6. (Теорема Вариньона)
Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника (не обязательно выпуклого),
является параллелограммом, площадь которого вдвое меньше площади четырехугольника. Полученный параллелограмм будем называть параллелограммом Вариньона.
▶ 7.
Стороны параллелограмма Вариньона равны половинкам диагоналей четырехугольника, из которого он получен.
▶ 8.
Если диагонали исходного четырехугольника равны, то параллелограмм Вариньона становится ромбом.
▶ 9.
Если диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона становится прямоугольником.
▶ 10.
Четырехугольник, вершинами которого являются середины двух противоположных сторон и диагоналей произвольного четырехугольника,
является параллелограммом.
▶ 11.
Пусть \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\) - середины последовательных сторон четырёхугольника, \(O_1\), \(O_2\) - середины диагоналей четырёхугольника, тогда \(M_1M_3\); \(M_2M_4\) и \(O_1O_2\) пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство:
Из обратной теоремы Фалеса следует, что отрезки \(AC\) и \(A'C'\) параллельны. Угол \(\angle{ABC}\) является общим для треугольников \(ABC\) и \(A'BC'\), при этом \(AB = 2A'B\), \(BC = 2C'B\), значит \(ABC\) и \(A'BC'\) подобны по второму признаку подобия с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), поэтому \(AC = 2A'C'\). То есть средняя линия равна половине основания.
\(\Box\)
Доказательство:
Мы установили, что каждая средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия \(\dfrac{1}{2}\), значит, площадь треугольника, отсекаемого средней линией, равна \(\dfrac{S}{4}\) (так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Таким образом, получаем:
\(
S_{AA'B'} + S_{BA'C'} + S_{CB'C'} = \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{4} = \dfrac{3S}{4}.
\)
Поэтому площадь оставшегося треугольника \(A'B'C'\) равна также \(S - \dfrac{3S}{4} = \dfrac{S}{4}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть диагональ \(AC\) пересекает среднюю линию в точке \(F\). Тогда \(MF\) - средняя линия треугольника \(ABC\), значит, \(MF = \dfrac{b}{2}\). \(FN\) - средняя линия треугольника \(ACD\), значит, \(FN = \dfrac{a}{2}\). Таким образом, получаем, что
\(
MN = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} = \dfrac{a+b}{2}.
\)
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(M\) и \(N\) - середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно. Отрезок, соединяющий \(M\) с серединой боковой стороны \(AB\), равен \(\dfrac{b}{2}\). Отрезок, соединяющий \(N\) с серединой боковой стороны \(CD\), равен \(\dfrac{b}{2}\). Значит,
\(MN = \dfrac{a + b}{2} - b = \dfrac{a - b}{2}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\) - середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) соответственно. Тогда \(M_1M_2\) - средняя линия треугольника \(ABC\), а значит, отрезок \(M_1M_2\) параллелен отрезку \(AC\) и \(AC = 2M_1M_2\). \(M_3M_4\) - средняя линия треугольника \(ACD\), значит, отрезок \(M_3M_4\) параллелен отрезку \(AC\) и \(AC = 2M_3M_4\), то есть отрезки \(M_1M_2\) и \(M_3M_4\) параллельны и равны. Аналогично мы можем доказать, что отрезки \(M_1M_4\) и \(M_2M_3\) параллельны и равны. Значит, четырёхугольник \(M_1M_2M_3M_4\) - параллелограмм.
Докажем, что площадь \(M_1M_2M_3M_4\) в два раза меньше площади \(ABCD\). Имеем:
\[S_{BM_1M_2} = \dfrac{1}{4}S_{ABC},\;\; S_{DM_3M_4} = \dfrac{1}{4}S_{ACD},\;\; S_{AM_1M_4} = \dfrac{1}{4}S_{ABD},\;\; S_{CM_2M_3} = \dfrac{1}{4}S_{BCD}.\]
При этом
\(S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABD} + S_{BCD} = S_{ABCD} = S,\) значит,
\(S_{BM_1M_2} + S_{DM_3M_4} + S_{AM_1M_4} + S_{CM_2M_3} = \dfrac{1}{4}\cdot (S + S) = \dfrac{S}{2}.\) Таким образом,
\(S_{M_1M_2M_3M_4} = S - (S_{BM_1M_2} + S_{DM_3M_4} + S_{AM_1M_4} + S_{CM_2M_3}) = S - \dfrac{S}{2} = \dfrac{S}{2}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
В предыдущем пункте мы доказали, что \(M_1M_2 = M_3M_4 = \dfrac{AC}{2}\), аналогично мы можем доказать, что \(M_1M_4 = M_2M_3 = \dfrac{BD}{2}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Если \(AC = BD\), значит \(M_1M_2 = M_3M_4 = \dfrac{AC}{2} = M_1M_4 = M_2M_3\), поэтому \(M_1M_2M_3M_4\) - ромб.
\(\Box\)
Доказательство:
Отрезки \(M_1M_2\) и \(M_3M_4\) параллельны диагонали \(AC\), отрезки \(M_1M_4\) и \(M_2M_3\) параллельны \(BD\), значит углы между соседними сторонами параллелограмма \(M_1M_2M_3M_4\) равны углу между диагоналями, то есть углы четырёхугольника \(M_1M_2M_3M_4\) равны \(90^{\circ}\), значит, \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\) - прямоугольник.
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(ABCD\) - четырёхугольник. \(M_1\), \(M_2\) - середины сторон \(AB\) и \(CD\), \(O_1\) - середина диагонали \(BD\), \(O_2\) - середина диагонали \(AC\). Тогда \(M_1O_1\) - средняя линия треугольника \(ABD\), значит, отрезок \(M_1O_1\) параллелен отрезку \(AD\) и \(M_1O_1 = \dfrac{AD}{2}\).
\(M_2O_2\) - средняя линия треугольника \(ACD\), значит отрезок \(M_2O_2\) параллелен отрезку \(AD\) и \(M_2O_2 = \dfrac{AD}{2}\), то есть отрезки \(M_1O_1\) и \(M_2O_2\) параллельны и \(M_1O_1 = M_2O_2\). Значит, \(M_1O_1M_2O_2\) - параллелограмм.
\(\Box\)
