Окружности с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) разных радиусов пересекаются в точках \(P\) и \(Q\). Хорда \(PM\) большей окружности пересекает меньшую окружность в точке \(K\), причём \(MK=2PK\).
а) Докажите, что проекция отрезка \(O_{1}O_{2}\) на прямую \(PM\) в три раза меньше \(PM\).
б) Найдите \(O_{1} O_{2}\), если радиусы окружностей равны \(13\) и \(25\), а \(PM=30\).
б) \(1124\)
Окружности с центрами \({O}_{1}\) и \({O}_{2}\) касаются внешним образом; прямая касается первой окружности в точке \(A\), а второй - в точке \(B\). Известно, что радиус первой окружности вдвое меньше радиуса второй.
а) Докажите, что треугольник \(B{O}_{1}{O}_{2}\) равнобедренный.
б) Пусть \(M\) - точка пересечения отрезка \(O_{1} B\) с первой окружностью. Найдите площадь треугольника \({O}_{1}M{O}_{2}\), если площадь треугольника \(AMB\) равна \(10\).
б) \(10\)
Окружность с центром \(O\) вписана в угол, равный \(2\arcsin{\dfrac{2}{3}}\). Окружность большего радиуса с центром \(O_{1}\) также вписана в этот угол и проходит через точку \(O\).
а) Докажите, что радиус второй окружности втрое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если радиус первой окружности равен \(3\).
б) \(\dfrac{35}{4}\)