Планиметрия

ЕГЭ 2017

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Известно, что \(A B C D\) трапеция, \(A D=2 B C, A D, B C\) -- основания. Точка \(M\) такова, что углы \(A B M\) и \(M C D\) прямые.
а) Доказать, что \(M A=M D\).
б) Расстояние от \(M\) до \(A D\) равно \(B C\), а угол \(A D C\) равен \(55^{\circ}\). Найдите угол \(B A D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 2

Katex В трапеции \(A B C D\) угол \(B A D\) прямой. Окружность, построенная на большем основании \(A D\) как на диаметре, пересекает меньшее основание \(B C\) в точке \(C\) и \(M\).
а) Докажите, что угол \(B A M\) равен углу \(C A D\).
б) Диагонали трапеции \(A B C D\) пересекаются в точке \(O\). Найдите площадь треугольника \(A O B\), если \(A B=6\), а \(B C=4 B M\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex Дана равнобедренная трапеция \(A B C D\), в которой \(A D=3 B C, C M\) - высота трапеции.
а) Доказать, что \(M\) делит \(AD\) в отношении \(2:1\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до середины \(BD\), если \(AD = 18\), \(AC = 4\sqrt{13}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 5

Katex Дана трапеция с диагоналями равными 6 и 8. Сумма оснований равна 10.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex Точка \(E\) - середина боковой стороны \(C D\) трапеции \(A B C D\). На стороне \(A B\) взяли точку \(K\) так, что прямые \(C K\) и \(A E\) параллельны. Отрезок \(C K\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\).
а) Доказать, что \(C O=K O\).
б) Найти отношение оснований трапеции \(B C\) и \(A D\), если площадь треугольника \(B C K\) составляет \(\frac{9}{64}\) площади трапеции \(A B C D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex Дана трапеция \(A B C D\) с основаниями \(A D\) и \(B C\), причем \(A D=2 B C\), и точка \(M\) внутри трапеции, такая, что \(\angle A B M=\angle D C M=90^{\circ}\).
а) Докажите, что \(A M=D M\).
б) Найдите угол \(B A D\), если угол \(C D A\) равен \(50^{\circ}\), а высота, проведённая из точки \(M\) к \(A D\), равна \(B C\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex Две окружности с центром \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(A B\). Продолжение диаметра \(C A\) первой окружности и хорды \(C B\) этой же окружности пересекает вторую окружность в точках \(D\) и \(E\) соответственно.
а) Докажите, что треугольники \(C B D\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найти \(A D\), если \(\angle D A E=\angle B A C\), радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и \(A B=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причем точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(A B\). Продолжение диаметра \(C A\) первой окружности и хорды \(C B\) этой же окружности пересекают вторую окружность в точках \(D\) и \(E\) соответственно.
а) Докажите, что треугольники \(C B D\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найдите \(A D\), если угол \(D A E\) равен углу \(B A C\), а радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и \(A B=3\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Через точку \(A\) проведена прямая \(M K\), пересекающая обе окружности в точках \(M\) и \(K\), причем точка \(A\) находится между ними.
а) Докажите, что треугольники \(B M K\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(M K\), если \(O_1 O_2=5, M K=7\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex В прямоугольном треугольнике \(A B C\) проведена высота \(C H\) из вершины прямого угла \(C\). В треугольники \(A C H\) и \(B C H\) вписаны окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно, касающиеся прямой \(C H\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(A O_1\) и \(C O_2\) перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(M O_1 N O_2\), если \(A C=20\) и \(B C=15\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\), причем меньшая окружность проходит через через центр \(O\) большей. Диаметр \(B C\) большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке \(M\), отличной от \(A\). Лучи \(A O\) и \(A M\) вторично пересекают большую окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Точка \(C\) лежит на дуге \(A Q\) большей окружности, не содержащей точку \(P\).
а) Докажите, что прямые \(P Q\) и \(B C\) параллельны.
б) Известно, что \(\sin \angle A O C=\frac{\sqrt{5}}{3}\). Прямые \(P C\) и \(A Q\) пересекаются в точке \(K\). Найдите отношение \(Q K: K A\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex Точка \(E\) - середина боковой стороны \(C D\) трапеции \(A B C D\). На стороне \(A B\) взяли точку \(K\), так, что прямые \(C K\) и \(A E\) параллельны. Отрезки \(C K\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\).
а) Докажите, что \(C O=K O\).
б) Найти отношение оснований трапеции \(B C\) и \(A D\), если площадь треугольника \(B C K\) составляет \(\frac{9}{100}\). площади трапеции \(A B C D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex Точка \(E\) -- середина боковой стороны \(C D\) трапеции \(A B C D\). На стороне \(A B\) взяли точку \(K\) так, что прямые \(C K\) и \(A E\) параллельны. Отрезок \(C K\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\).
а) Доказать, что \(C O=K O\).
б) Найти отношение оснований трапеции \(B C\) и \(A D\), если площадь треугольника \(B C K\) составляет \(\frac{4}{121}\) площади трапеции \(A B C D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(A B\). Продолжения диаметра \(C A\) первой окружности и хорды \(C B\) этой окружности пересекают вторую окружность в точках \(D\) и \(E\) соответственно.
а) Докажите, что треугольники \(C B D\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найдите \(A D\), если \(\angle D A E=\angle B A C\), радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и \(A B=3\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex Две окружности с центром \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(A B\). Продолжение диаметра \(C A\) первой окружности и хорды \(C B\) этой же окружности пересекает вторую окружность в точках \(D\) и \(E\) соответственно.
а) Докажите, что треугольники \(C B D\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найти \(A D\), если \(\angle D A E=\angle B A C\), радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и \(A B=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 18

Katex В прямоугольном треугольнике \(A B C\) проведена высота \(C H\) из вершины прямого угла. В треугольники \(A C H\) и \(B C H\) вписаны окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно, касающиеся прямой \(C H\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(A O_1\) и \(C O_2\) перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(M O_1 N O_2\), если \(A C=12\) и \(B C=5\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 19

Katex Точки \(E\) и \(K\) -- соответственно середины сторон \(C D\) и \(A D\) квадрата \(A B C D\). Прямая \(B E\) пересекается с прямой \(C K\) в точке \(O\).
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника \(A B O K\) можно описать окружность.
б) Найдите \(A O\), если сторона квадрата равна 1.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 20

Katex Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\), причём меньшая окружность проходит через центр \(O\) большей. Диаметр \(B C\) большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке \(M\), отличной от \(A\). Лучи \(A O\) и \(A M\) вторично пересекают большую окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Точка \(C\) лежит на дуге \(A Q\) большей окружности, не содержащей точку \(P\).
а) Докажите, что прямые \(P Q\) и \(B C\) параллельны.
б) Известно, что \(\sin \angle A O C=\frac{\sqrt{15}}{4}\). Прямые \(P C\) и \(A Q\) пересекаются в точке \(K\). Найдите отношение \(Q K: K A\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 21

Katex Точка \(E\) - середина боковой стороны \(C D\) трапеции \(A B C D\). На стороне \(A B\) взяли точку \(K\) так, что прямые \(C K\) и \(A E\) параллельны. Отрезок \(C K\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\).
а) Доказать, что \(C O=K O\).
б) Найти отношение оснований трапеции \(B C\) и \(A D\), если площадь треугольника \(B C K\) составляет \(\frac{9}{64}\) площади трапеции \(A B C D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 22

Katex Окружность, вписанная в трапецию \(A B C D\), касается ее боковых сторон \(A B\) и \(C D\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(A M=8 M B\) и \(D N=2 C N\).
а) Докажите, что \(A D=4 B C\).
б) Найдите длину отрезка \(M N\), если радиус окружности равен \(\sqrt{6}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 23

Katex Окружность, вписанная в трапецию \(A B C D\), касается ее боковых сторон \(A B\) и \(C D\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(A M=6 M B\) и \(2 D N=3 C N\).
а) Докажите, что \(A D=3 B C\).
б) Найдите длину отрезка \(M N\), если радиус окружности равен \(\sqrt{105}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 24

Katex В трапецию \(A B C D\) с основаниями \(A D\) и \(B C\) вписана окружность с центром \(O\).
а) Докажите, что \(\sin \angle A O D=\sin \angle B O C\).
б) Найдите площадь трапеции, если \(\angle B A D=90^{\circ}\), а основания равны 5 и 7.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса