Планиметрия

ЕГЭ 2020

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Две окружности касаются внутренним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(A B C\) с прямым углом \(C\) лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая \(A C\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\). Прямая \(B C\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\).
a) Докажите, что \(A E\) параллельно \(B D\).
б) Найдите \(A C\), если радиусы окружностей равны 8 и 15 .

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 2

Katex Дан прямоугольный треугольник \(A B C\). На катете \(A C\) отмечена точка \(M\), а на продолжении катета \(B C\) за точку \(C\) -- точка \(N\) так, что \(C M=C B\) и \(C A=C N\).
a) Пусть \(C H\) и \(C F\) -- высоты треугольников \(A B C\) и \(N M C\) соответственно. Докажите, что \(C F\) и \(C H\) перпендикулярны.
б) Пусть \(L\) - это точка пересечения \(B M\) и \(A N, B C=2, A C=5\). Найдите \(M L\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex На сторонах \(A B, B C\) и \(A C\) треугольника \(A B C\) отмечены точки \(C_1, A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(A C_1: C_1 B=\rho: 3\), \(B A_1: A_1 C=1: 2, C B_1: B_1 A=3: 1\). Отрезки \(B B_1\) и \(C C_1\) пересекаются в точке \(D\).
a) Докажите, что \(A D A_1 B_1\) -- параллелограмм.
б) Найдите \(C D\), если отрезки \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны, \(A C=28, B C=18\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex На сторонах \(A B, B C\) и \(A C\) треугольника \(A B C\) отмечены точки \(C_1, A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(A C_1: C_1 B=21: 10\), \(B A_1: A_1 C=2: 3, A B_1: B_1 C=2: 5\). Отрезки \(B B_1\) и \(C C_1\) пересекаются в точке \(D\).
a) Докажите, что четырёхугольник \(A D A_1 B_1\) -- параллелограмм.
б) Найдите \(C D\), если отрезки \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны, \(A C=63, B C=25\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 5

Katex В остроугольном треугольнике \(A B C\) провели высоту \(C C_1\) и медиану \(A A_1\). Оказалось, что точки \(A, A_1, C, C_1\) лежат на одной окружности.
a) Докажите, что треугольник \(A B C\) равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(A B C\), если \(A A_1: C C_1=5: 4\) и \(A_1 C_1=4\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex В треугольнике \(A B C\) провели высоту \(C C_1\) и медиану \(A A_1\). Оказалось, что точки \(A, A_1, C, C_1\) лежат на одной окружности.
a) Докажите, что треугольник \(A B C\) равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(A B C\), если \(A A_1: C C_1=3: 2\) и \(A_1 C_1=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex В остроугольном треугольнике \(A B C\) провели высоту \(C C_1\) и медиану \(A A_1\). Оказалось, что точки \(A, A_1, C, C_1\) лежат на одной окружности.
a) Докажите, что треугольник \(A B C\) равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(A B C\), если \(A A_1: C C_1=4: 3\) и \(A_1 C_1=6\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex В треугольнике \(A B C\) угол \(A\) равен \(120^{\circ}\). Прямые, содержащие высоты \(B M\) и \(C N\) треугольника \(A B C\), пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) - центр окружности, описанной около треугольника \(A B C\).
a) Докажите, что \(A H=A O\).
б) Найдите площадь треугольника \(A H O\), если \(B C=\sqrt{15}, \angle A B C=45^{\circ}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника \(A B C\) вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке \(L\). Прямая, проходящая через точку \(L\) и середину \(N\) гипотенузы \(A B\), пересекает катет \(B C\) в точке \(M\).
a) Докажите, \(\angle B M L=\angle B A C\)
б) Найдите площадь треугольника \(A B C\), если \(A B=20\) и \(C M=3 \sqrt{5}\)

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex На боковой стороне \(C D\) трапеции \(A B C D\) отмечена точка \(M\), которая является серединой этой стороны.
a) Докажите, что \(S_{A B M}=\frac{1}{2} S_{A B C D}\).
б) На стороне \(C D\) отмечена точка \(K\), такая, что \(S_{B K C}=\frac{1}{2} S_{A K D}\), причем \(A D=2 B C\). Расстояние от точки \(D\) до прямой \(A B\) равно 10. Найдите расстояние от точки \(K\) до стороны \(A B\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex На боковой стороне \(C D\) трапеции \(A B C D\) отмечена точка \(M\), которая является серединой этой стороны.
a) Докажите, что \(S_{A B M}=\frac{1}{2} S_{A B C D}\).
б) На стороне \(C D\) отмечена точка \(K\), такая, что \(S_{B K C}=\frac{1}{2} S_{A K D}\), причем \(A D=2 B C\). Расстояние от точки \(D\) до прямой \(A B\) равно 15. Найдите расстояние от точки \(K\) до стороны \(A B\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex Прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C\) вписан в окружность. Биссектриса угла \(A\) пересекает описанную окружность в точке \(A_1\), биссектриса угла \(B\) пересекает описанную окружность в точке \(B_1\), биссектриса угла \(C\) пересекает описанную окружность в точке \(C_1\).
a) Докажите, что угол \(A_1 B B_1=45^{\circ}\).
б) Известно, что \(A B=2 \sqrt{3}, \angle A=60^{\circ}\). Найдите \(B_1 C_1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex К окружности с диаметром \(A B=10\) проведена касательная \(B C\) так что \(B C=5\). Прямая \(A C\) вторично пересекает окружность в точке \(D\). Точка \(E\) диаметрально противоположна точке \(D\). Прямые \(E D\) и \(B C\) пересекаются в точке \(F\).
a) Докажите, что \(B D^2=C D \cdot B E\).
б) Найдите площадь треугольника \(F B E\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса