Планиметрия

Окружность касается одной из сторон прямого угла \(D\) в точке \(E\) и пересекает другую сторону угла в точках \(A\) и \(B\). Точка \(A\) лежит на отрезке \(BD\), а \(AC\) - диаметр этой окружности.

а) Докажите, что \(DE=\dfrac{1}{2}BC.\)

б) Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AC\), если \(AD=2\), \(AB=6.\)

\(ABC\) равносторонний треугольник. На стороне \(AC\) выбрана точка \(M\), серединный перпендикуляр к отрезку \(BM\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(E\), а сторону \(BC\) в точке \(K\).

a) Доказать что угол \(AEM\) равен углу \(CMK\).

б) Найти отношение площадей треугольников \(AEM\) и \(CMK\), если \(AM:CM=1:4\).

Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) пересекаются в точке \(O\). Точки \(M\) и \(N\) отмечены на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) соответственно. Известно, что \(AM = MO\), \(CN = NO\).

а) Докажите, что точки \(M\), \(N\) и \(O\) лежат на одной прямой.

б) Найдите \(AM : MB\), если известно, что \(AO = OC\) и \(BC : AD = 1 : 7\).

Дан ромб \(ABCD\). Прямая, перпендикулярная стороне \(AD\), пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M\), диагональ \(BD\) — в точке \(N\), причем \(AM : MC = 1 : 2\), \(BN : ND = 1 : 3\).

a) Докажите, что \(\cos \angle BAD = 0,2\).

б) Найдите площадь ромба, если \(MN = 5\).

Касательная к окружности, вписанной в квадрат \(ABCD\), пересекает стороны \(AB\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

a) Докажите, что периметр треугольника \(AMN\) равен стороне квадрата.

б) Прямая \(MN\) пересекает прямую \(CD\) в точке \(P\). Найдите в каком отношении делит сторону \(BC\) прямая, проходящая через \(P\) и центр окружности, если \(AM:MB=1:3\).