Планиметрия
ЕГЭ 2024
Дан остроугольный треугольник \(ABC\). В нём высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\).
a) Докажите, что \(\angle BAH=\angle BB_1C_1\).
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до \(BC\), если \(C_1B_1=18\), а \(\angle BAC =30^{\circ}\).
б) \(10\)
Дан остроугольный треугольник \(ABC\). В нём высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\).
а) Докажите, что \(\angle AHB_1=\angle ACB\).
б) Найдите \(BC\), если \(AH=8\sqrt{3}\) и \(\angle BAC=60^{\circ}\).
б) \(24\)
\(ABCDE\) - вписанный пятиугольник. \(M\) - точка пересечения диагоналей \(BE\) и \(AD\). Известно, что \(BCDM\) - параллелограмм.
a) Докажите, что стороны пятиугольника равны.
б) Найдите \(AB\), если известно, что \(BE=12, BC=5, AD=9\).
б) \(10\)
\(ABCDE\) - вписанный пятиугольник. \(AB=CD=5,\,\, BC=DE=8\).
а) Докажите, что \(AC=CE\).
б) Найдите \(BE\), если известно, что \(AD=10\).
б) \(6,4\)
Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) - диаметр этой окружности.
a) Докажите, что \(\angle ANB=2\angle ABC\).
б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AB\), если известно, что \(AC=14\) и \(AB=36\).
б) \(\dfrac{169}{5}\)
Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) - диаметр этой окружности.
a) Докажите, что прямая \(AC\) параллельна биссектрисе угла \(ANB\).
б) Найдите \(NO\), если \(AB=24,\,\, AC=10\).
б) \(24\)
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM\). На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.
a) Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельны.
б) Найдите отношение \(EH\) к \(AC\), если \(\angle ABC=60^{\circ}\).
б) \(\dfrac{1}{4}\)
В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям. Из точки \(A\) на сторону \(CD\) опустили перпендикуляр \(AH\). Точка \(E\) принадлежит стороне \(AB\), прямые \(CD\) и \(CE\) перпендикулярны.
a) Докажите, что прямая \(BH\) параллельна прямой \(ED\).
б) Найдите отношение \(BH\) к \(ED\), если \(\angle{BCD}=135^{\circ}\).
б) \(\dfrac{1}{2}\)
В остроугольном треугольнике \(A B C\) отмечены точки \(C_1, A_1\) и \(B_1\) на серединах сторон \(A B, B C\) и \(A C\) соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника \(A B_1 C_1\), проходит через точку пересечения описанных окружностей вокруг треугольников \(A_1 B_1 C\) и \(A_1 B C_1\), отличную от точки \(A_1\).
б) Известно, что \(A C=A B=13, B C=10\). Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей в треугольники \(A B_1 C_1, A_1 B_1 C\) и \(A_1 B C_1\).
б) \(\dfrac{169}{48}\)
В треугольнике \(A B C\) на серединах сторон \(A B\) и \(B C\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно. Отрезок \(E F\) касается окружности, вписанной в треугольник, а сторона \(A C=4\).
a) Докажите, что периметр равен \(16\).
б) Найдите площадь четырехугольника \(A E F C\), если \(\angle A C B=90^{\circ}\).
б) \(8\)
На сторонах \(B C\) и \(C D\) квадрата \(A B C D\) отмечены точки \(E\) и \(M\) соответственно. Известно, что \(A M=\sqrt{13}, A E=3, E M=2\).
a) Докажите, что углы \(B A E\) и \(C E M\) равны.
б) Найдите площадь квадрата \(A B C D\).
б) \(8,1\)