Top.Mail.Ru
Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Задание 1
Katex

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ\), \(AC=25\), \(\sin A=\dfrac{12}{13}\). Найдите \(BC\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 60
Задание 1
Katex

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB=7\), \(CD=13\). Найдите периметр четырёхугольника \(ABCD\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 40
Задание 2
Katex

Даны векторы \(\vec{a}(-3;5)\) и \(\vec{b}(1;13)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 17
Задание 3
Katex

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 100. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 50
Задание 3
Katex

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A\), \(B\), \(C\), \(B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \({AB=9}\), \({BC=7}\), \({AA_1=6}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 63
Задание 4
Katex

В большой партии насосов в среднем на каждые 1992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,004
Задание 5
Katex

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна \(0,05\). Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна \(0,95\). Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна \(0,01\). Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,057
Задание 5
Katex

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна \(0,7\). Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первые три мишень и не попадёт в последний.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 0,1029
Задание 6
Katex

Найдите корень уравнения \(\sqrt{9x-47}=4\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 7
Задание 7
Katex

Найдите значение выражения \(\dfrac{11^{5,4}}{121^{2,2}}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 11
Задание 7
Katex

Найдите значение выражения \(\dfrac{3^{7,5}\cdot 4^{6,5}}{12^{5,5}}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 36
Задание 8
Katex

На рисунке изображён график функции \({y=f\left(x\right)}\). На оси абсцисс отмечено шесть точек: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\). В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции \(f\left(x\right)\) положительна.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 4
Задание 8
Katex

На рисунке изображён график функции \({y=f\left(x\right)}\). На оси абсцисс отмечено десять точек: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\), \(x_7\), \(x_8\), \(x_9\), \(x_{10}\). В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции \(f\left(x\right)\) отрицательна.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 2
Задание 9
Katex

Наблюдатель находится на высоте \(h\), выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(l = \sqrt {\frac{Rh}{500}}\), где \(R = 6400\) км - радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии \(172\) километров? Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 441
Задание 9
Katex

Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс.~руб. за ед.) задаётся формулой \(q=75-5p\). Выручка предприятия \(r\) (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле \(r(p)=q\cdot p\). Определите наибольшую цену \(p\), при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее \(180\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб. за ед.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 12
Задание 9
Katex

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}\), где \(f_0=150\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 13\) м/с и \(v = 6\) м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна \(155\) Гц? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 576
Задание 10
Katex

Первый час автомобиль ехал со скоростью \(120\) км/ч, следующие три часа - со скоростью \(105\) км/ч, а затем три часа - со скоростью \(65\) км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 90
Задание 11
Katex

На рисунке изображён график функции вида \(f(x)=\log_ax\). Найдите значение \(f(25)\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: -2
Задание 12
Katex

Найдите точку максимума функции \(y=-\dfrac{x^2 +400}{x}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 20
Задание 12
Katex

Найдите точку минимума функции \(y=\left(6-4x\right)\cos x +4\sin x+9\) принадлежащую промежутку \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: 1,5
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(\log_3{(x^2-2x)}=1.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log_2{0,2};\log_3{5}\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: а) –1; 3; б) –1;
Задание 13
Katex

а) Решите уравнение

\(6\log^2_{8}{x}-5\log_{8}{x}+1=0.\)


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[1;2,5\right]\)

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 14
Katex

Прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), два сечения \(AOB\) и \(BOC\) - являются прямоугольниками. Точка \(O\) центр грани \(A_1B_1C_1D_1\). Известно, что каждая из плоскостей является прямоугольником, у которых стороны \(AB\) и \(BC\) - это меньшие стороны и они в \(2\) раза меньше двух других сторон.

a) Доказать, что \(ABCD\) - квадрат.

б) Найти угол между плоскостью \(BOC\) и \(CA_1\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 14
Katex

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через прямую \(BD_1\) параллельно прямой \(AC\) проведена плоскость \(\pi\), причём сечение параллелепипеда плоскостью \(\pi\) представляет собой ромб.

a) Докажите, что \(ABCD\) - квадрат.

б) Найти угол между плоскостью \(\pi\) и плоскостью \((BCC_1)\), если \(AD=4\) и \(AA_1=6\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{117-15\cdot 3^{x}}{9^{x}-36\cdot 3^x+243}\geqslant 0,5.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ {1} ∪ (2; 3)
Задание 15
Katex

Решите неравенство

\(\dfrac{2^x}{2^{x}-8}+\dfrac{2^{x}+8}{2^{x}-4}+\dfrac{66}{4^{x}-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0.\)

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑥 ∈ {0} ∪ (2; 3)
Задание 16
Katex

Зависимость объёма \(Q\) (в шт.) купленного у фирмы товара от цены \(Р\) (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q=15000-P\), \(1000\leq P\leq 15000\). Доход от продажи товара составляет \(РQ\) рублей. Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(3000Q+5000000\) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на \(20\%\), однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Показать ответ и решение
+
Ответ: 12,5
Задание 16
Katex

Зависимость количества \(Q\) (в шт., \(0\leq Q \leq 15000\)) купленного у фирмы товара от цены \(P\) (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q=15000-P\). Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(3000Q+1000000\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог \(t\) рублей \((0< t < 10000)\) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ-3000Q-1000000-tQ\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(t Q\) рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении \(t\) общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Показать ответ и решение
+
Ответ: 6000
Задание 17
Katex

Дан ромб \(ABCD\). На диагонали \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM = MN = NC\). Прямая \(BM\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а прямая \(BN\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\).

a) Докажите, что площадь четырехугольника \(BPDQ\) равна площади треугольника \(ADC\).

б) Найдите \(BD\), если известно, что \(AC = 2\sqrt{3}\) и около пятиугольника \(MNQDP\) можно описать окружность.

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Задание 17
Katex

Дан ромб \(ABCD\). Точки \(P\) и \(Q\) - середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Проведены \(AP\) и \(AQ\) таким образом, что они пересекают диагональ \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

a) Докажите, что сумма площадей треугольников \(BMP\) и \(DNQ\) равна площади треугольника \(AMN\).

б) Известно, что в \(CPMNQ\) можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна \(12\sqrt{5}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: б) 8
Задание 18
Katex

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases} \dfrac{(y^2-xy-7y+4x+12)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0,\\ a=x+y \end{cases}\)


имеет \(2\) решения.

Показать ответ и решение
+
Ответ: 𝑎 ∈ (−7; −1] ∪ {5} ∪ [9; 13)
Задание 19
Katex

На доске написано \(24\) числа: восемь «\(5\)», восемь «\(4\)» и восемь «\(3\)». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно \(A\), среднее арифметическое чисел во второй группе равно \(B\). При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \(\dfrac{A+B}{2}\).

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по \(12\) чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \(\dfrac{A+B}{2}\).

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \(\dfrac{A+B}{2}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ: a) 1 группа: 5; 2 группа: остальные числа; б) см. разбор; в) 103/23.
Бесплатный пробный урок любого курса
протестируй свой уровень
посмотри курс изнутри
забери задания и методички
получи четкий план подготовки
пообщайся с экспертами ЕГЭ