ВЕРСИЯ ДЛЯ СЛАБОВИДЯЩИХ
Cтереометрия ЕГЭ 2013
We create digital spaces


Задание 1
Katex

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) стороны основания \(ABCD\) равны 20, а боковые ребра равны 60. Сечение \(\varphi\) проходит через биссектрисы боковых граней, выходящих из вершины \(A\).

a) Докажите, что сечение \(\varphi\) делит ребро \(SC\) в отношении \(3:2\) считая от вершины \(S\).

б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\varphi\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(60\sqrt{33}\)

Задание 2
Katex

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) сторона \(AB\) основания равна 8, а боковое ребро \(AA_{1}\) равно \(4\sqrt{2}\). На рёбрах \(BC\) и \(C_{1}D_{1}\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(BK:KC=C_{1}L:LD_{1}=1:3\). Плоскость \(\gamma\) паралелльна прямой \(BD\) и содержит точки \(K\) и \(L\).

a) Докажите, что прямая \(A_{1}C\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\gamma\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\( \dfrac{4}{\sqrt{10}}\)

Задание 3
Katex

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(2\sqrt{3}\), а боковое ребро \(AA_1\) равно 3. На рёбрах \(A_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(A_1K = KD_1\), a \(DM : MD_1 = 2:1\).

a) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями \(BMK\) и \(BCC_1\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\arccos{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\)

Задание 4
Katex

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) известны рёбра \(BC=5\) и \(AB=AA_{1}=8\), \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(CD\) и \(AA_{1}\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(B\) и параллельна прямой \(CD_{1}\).

a) Докажите, что прямая \(DN\) параллельна плоскости \(\alpha\).

б) Найдите расстояние между прямыми \(C_{1}D\) и \(BD_{1}\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{20\sqrt{34}}{51}\)

Задание 5
Katex

Радиус основания конуса равен \(8\), высота равна \(4\). Сечение конуса плоскостью \(\alpha\), проходящей через его вершину, отсекакет от окружности основания дугу в \(60^\circ\).

a) Докажите, что велечина угла между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью основания конуса равна \(30^\circ\).

б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{5\sqrt{119}}{13}\)