Стереометрия

ЕГЭ 2016

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex В правильной четырёхугольной призме \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) сторона основания \(A B=6\), а боковое ребро \(A A_1=4 \sqrt{3}\). На рёбрах \(A B\), \(A_1 D_1\) и \(C_1 D_1\) отмечены точки \(M, N\) и \(K\) соответственно, причём \(A M=A_1 N=C_1 K=1\).
a) Пусть \(L\) - точка пересечения плоскости \(M N K\) с ребром \(B C\). Докажите, что \(M N K L\) - квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(M N K\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 2

Katex В правильной треугольной призме \(A B C A_1 B_1 C_1\) сторона основания равна 12 , а боковое ребро \(A A_1\) равно \(3 \sqrt{6}\). На рёбрах \(A B\) и \(B_1 C_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\), соответственно, причём \(A K=2\), а \(B_1 L=4\). Точка \(M-\) середина ребра \(A_1 C_1\). Плоскость \(\gamma\) параллельна ребру \(A C\) и содержит точки \(K\) и \(L\).
a) Докажите, что прямая \(B M\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\gamma\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex В правильной четырёхугольной призме \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) сторона \(A B\) основания равна 8 , а боковое ребро \(A A_1\) равно \(4 \sqrt{2}\). На рёбрах \(B C\) и \(C_1 D_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(B K=C_1 L=2\). Плоскость \(\gamma\) параллельна прямой \(B D\) и содержит точки \(K\) и \(L\).
a) Докажите, что прямая \(A_1 C\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\gamma\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex В правильной четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) сторона \(A B\) основания равна \(2 \sqrt{3}\), а высота \(S H\) пирамиды равна 3. Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(C D\) и \(A B\), соответственно, а \(N T\) -- высота пирамиды \(N S C D\) с вершиной \(N\) и основанием \(S C D\).
a) Докажите, что точка \(T\) является серединой \(S M\).
б) Найдите расстояние между \(N T\) и \(S C\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 5

Katex В прямоугольном параллелепипеде \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) известны длины рёбер: \(A B=4, B C=3, A A_1=2\). Точки \(P\) и \(Q-\) середины рёбер \(A_1 B_1\) и \(C C_1\) соответственно. Плоскость \(A P Q\) пересекает ребро \(B_1 C_1\) в точке \(U\).
a) Докажите, что \(B_1 U: U C_1=2: 1\).
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) плоскостью \(A P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex В основании прямой треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) лежит прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C, A C=4\), \(B C=16, A A_1=4 \sqrt{2}\). Точка \(Q-\) середина ребра \(A_1 B_1\), а точка \(P\) делит ребро \(B_1 C_1\) в отношении \(1: 2\), считая от вершины \(C_1\). Плоскость \(A P Q\) пересекает ребро \(C C_1\) в точке \(M\).
a) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(C C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(A P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex На рёбрах \(C D\) и \(B B_1\) куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) с ребром 12 отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём \(D P=4\), а \(B_1 Q=3\). Плоскость \(A P Q\) пересекает ребро \(C C_1\) в точке \(M\).
a) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(C C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(A P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex В правильной треугольной призме \(A B C A_1 B_1 C_1\) сторона \(A B\) основания равна 12 , а высота призмы равна 2 . На рёбрах \(B_1 C_1\) и \(A B\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём \(P C_1=3\), а \(A Q=4\). Плоскость \(A_1 P Q\) пересекает ребро \(B C\) в точке \(M\).
a) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(B C\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(A_1 P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex На рёбрах \(D D_1\) и \(B B_1\) куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) с ребром 12 отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём \(D P=10\), а \(B_1 Q=4\). Плоскость \(A_1 P Q\) пересекает ребро \(C C_1\) в точке \(M\).
a) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(C C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(A_1 P Q\).

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex На рёбрах \(C D\) и \(B B_1\) куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) с ребром 12 отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём \(D P=4\), а \(B_1 Q=3\). Плоскость \(A P Q\) пересекает ребро \(C C_1\) в точке \(M\).
a) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(C C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(A P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex В правильной четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) боковое ребро \(S A\) равно \(\sqrt{5}\), а высота \(S H\) пирамиды равна \(\sqrt{3}\). Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(C D\) и \(A B\), соответственно, а \(N T\) -- высота пирамиды с вершиной \(N\) и основанием \(S C D\).
a) Докажите, что точка \(T\) является серединой \(S M\).
б) Найдите расстояние между \(N T\) и \(S C\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex В правильной треугольной призме \(A B C A_1 B_1 C_1\) все рёбра равны 8 . На рёбрах \(A A_1\) и \(C C_1\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(A M=3, C N=1\).
a) Докажите, что плоскость \(M N B_1\) разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра \(M N B B_1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex В правильной четырёхугольной призме \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) сторона \(A B\) основания равна 6 , а боковое ребро \(A A_1\) равно \(3 \sqrt{2}\). На ребрах \(B C\) и \(C_1 D_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(B K=4, C_1 L=5\). Плоскость \(\gamma\) параллельна прямой \(B D\) и содержит точки \(К\) и \(L\).
a) Докажите, что прямая \(A C_1\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\).
б) Найдите расстояние от точки \(B_1\) до плоскости \(\gamma\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex В правильной четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) сторона \(A B\) основания равна 16 , а высота пирамиды равна 4. На рёбрах \(A B\), \(C D\) и \(A S\) отмечены точки \(M, N\) и \(K\) соответственно, причём \(A M=D N=4\) и \(A K=3\).
a) Докажите, что плоскости \(M N K\) и \(S B C\) параллельны.
б) Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(S B C\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex В правильной треугольной призме \(A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) сторона основания \(A B\) равна 6 , а боковое ребро \(A A^{\prime}\) равно 3 . На ребре \(A B\) отмечена точка \(К\) так, что \(A K=1\). Точки \(M\) и \(L-\) середины рёбер \(A^{\prime} C^{\prime}\) и \(B^{\prime} C^{\prime}\) соответственно. Плоскость \(\gamma\) параллельна прямой \(A C\) и содержит точки \(К\) и \(L\).
a) Докажите, что прямая \(B M\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\gamma\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex В треугольной пирамиде \(A B C D\) двугранные углы при рёбрах \(A D\) и \(B C\) равны. \(A B=B D=D C=A C=5\).
a) Докажите, что \(A D=B C\).
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при \(A D\) и \(B C\) равны \(60^{\circ}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса