Начать бесплатно

Меню

Подготовка к ЕГЭ

Бесплатные материалы

О нас

👋 Все программы

Успей присоединиться к Годовому курсу до старта

Лови выгоду!

от 5 499 руб.

математика

физика

информатика

русский язык

обществознание

Пиши «SCHOOL» и забронируй место. Экономия до 20 000 рублей

Места уходят каждый час!

Выбрать курс

Стереометрия

ЕГЭ 2019

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Дана пирамида \(S A B C\), в которой \(S C=S B=A B=A C=\sqrt{17}, S A=B C=2 \sqrt{5}\).
a) Докажите, что ребро \(S A\) перпендикулярно ребру \(B C\).
б) Найдите расстояние между ребрами \(B C\) и \(S A\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 2

Katex Дана пирамида \(S A B C\), в которой \(S C=S B=A B=A C=\sqrt{19}, S A=B C=2 \sqrt{6}\).
а) Докажите, что ребро \(S A\) перпендикулярно ребру \(B C\).
б) Найдите расстояние между ребрами \(B C\) и \(S A\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 3

Katex В пирамиде \(S A B C\) известны длины рёбер: \(A B=A C=\sqrt{29}, B C=S A=2 \sqrt{5}, S B=S C=\sqrt{13}\).
a) Докажите, что прямая \(S A\) перпендикулярна прямой \(B C\).
б) Найдите угол между прямой \(S A\) и плоскостью \(S B C\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 4

Katex В конусе с вершиной \(S\) и центром основания \(O\) радиус основания равен 13 , а высота равна \(3 \sqrt{41}\). Точки \(A\) и \(B\) - концы образующих, \(M\) -- середина \(S A, N\) -- точка в плоскости основания такая, что прямая \(M N\) параллельна прямой \(S B\).
a) Докажите что \(A N O\) -- прямой угол.
б) Найдите угол между \(M B\) и плоскостью основания, если дополнительно известно что \(A B=10\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 5

Katex В правильной треугольной пирамиде \(S A B C\) точка \(P\) -- делит сторону \(A B\) в отношении \(\frac{2}{3}\), считая от вершины \(A\), точка \(K\) делит сторону \(B C\) в отношении \(\frac{2}{3}\), считая от вершины \(C\). Через точки \(P\) и \(K\) параллельно \(S B\) проведена плоскость \(\omega\).
a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \(\omega\) является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки \(S\) до плоскости \(\omega\), если известно, что \(S C=5, A C=6\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 6

Katex В правильной треугольной пирамиде \(S A B C\) точка \(K\) -- делит сторону \(S C\) в отношении \(\frac{1}{2}\), считая от вершины \(S\), точка \(N\) делит сторону \(S B\) в отношении \(\frac{1}{2}\), считая от вершины \(S\). Через точки \(N\) и \(K\) параллельно \(S A\) проведена плоскость \(\omega\).
a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \(\omega\) параллельно прямой \(B C\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\omega\), если известно, что \(S A=9, A B=6\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 7

Katex В правильной треугольной пирамиде \(S A B C\) сторона основания \(A B\) равна 9 , а боковое ребро \(S A=6\). На рёбрах \(A B\) и \(S C\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно, причём \(A K: K B=S M: M C=2: 7\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(K M\) и параллельна прямой \(S A\).
a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(S B\) в отношении \(2: 7\), считая от вершины \(S\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(S A\) и \(K M\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 8

Katex В правильном тетраэдре \(A B C D\) точки \(K\) и \(M\) -- середины рёбер \(A B\) и \(C D\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(K M\) и параллельна прямой \(A D\).
a) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) -- квадрат.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(A B C D\) плоскостью \(\alpha\), если \(A B=2 \sqrt{3}\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 9

Katex В кубе \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) рёбра равны 1. На продолжении отрезка \(A_1 C_1\) за точку \(C_1\) отмечена точка \(M\) так, что \(A_1 C_1=C_1 M\), а на продолжении отрезка \(B_1 C\) за точку \(C\) отмечена точка \(N\) так, что \(B_1 C=C N\).
a) Докажите, что \(M N=M B_1\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(B_1 C_1\) и \(M N\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 10

Katex В правильной треугольной призме \(A B C A_1 B_1 C_1\) сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка \(M\) -- середина ребра \(A_1 C_1\), а точка \(O\) -- точка пересечения диагоналей боковой грани \(A B B_1 A_1\).
a) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) плоскостью \(A M B\), лежит на отрезке \(O C_1\).
б) Найдите угол между прямой \(O C_1\), и плоскостью \(A M B\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 11

Katex Радиус основания конуса с вершиной \(S\) и центром основания \(O\) равен 5, а его высота равна \(\sqrt{51}\). Точка \(M\) -- середина образующей \(S A\) конуса, а точки \(N\) и \(B\) лежат на основании конуса, причём прямая \(M N\) параллельна образующей конуса \(S B\).
a) Докажите что \(\angle A N O\) -- прямой.
б) Найдите угол между прямой \(B M\) и плоскостью основания конуса, если \(A B=8\).

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 12

Katex В правильной треугольной пирамиде \(S A B C\) сторона основания \(A B\) равна 6 , а боковое ребро \(S A\) равно 5 . На рёбрах \(A B\) и \(S C\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно, причём \(A K: K B=S M: M C=5: 1\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(K M\) и параллельна \(S A\).
a) Докажите, что сечение пирамиды \(S A B C\) плоскостью \(\alpha\) -- прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка \(A\), а основанием -- сечение пирамиды \(S A B C\) плоскостью \(\alpha\).

\newpage

Показать ответ и решение

Ответ:

Задание 13

Katex В правильной треугольной пирамиде \(S A B C\) сторона основания \(A B\) равна 6, а боковое ребро \(S A\) равно 7. На рёбрах \(A B\) и \(S C\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно, причём \(A K: K B=S M: M C=1: 5\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(K M\) и параллельна прямой \(B C\).
a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(S A\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(S B C\).

Показать ответ и решение

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса