Стереометрия

ЕГЭ 2022

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Дан правильный треугольник \(A B C\). Точка \(D\) лежит вне плоскости \(A B C, \cos \angle B A D=\)\(=\cos \angle D A C=0,3\).
a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(A D\) и \(B C\), если \(A C=6\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 2

Katex

Вне плоскости правильного треугольника \(A B C\) расположена точка \(D\), причем \(\cos \angle D A C=\)\(=\cos \angle D A B=0,2\).
a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \(A B=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex

Дана треугольная пирамида \(S A B C\). Основание высоты \(S O\) этой пирамиды является серединой отрезка \(C H\) -- высоты треугольника \(A B C\).
a) Докажите, что \(A C^2-B C^2=A S^2-B S^2\).
б) Найдите объём пирамиды \(SABC\), если \(AB=25,\,\, AC=10,\,\, BC=5\sqrt{13},\,\, SC=3\sqrt{10}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex

Различные точки \(A, B\) и \(C\) лежат на окружности основания конуса с вершиной \(S\) так, что отрезок \(A B\) является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(60^{\circ}\).
a) Докажите, что \(\cos \angle A S C+\cos \angle C S B=1,5\).
б) Найдите объем тетраэдра \(S A B C\), если \(S C=1\) и \(\cos \angle A S C=\frac{2}{3}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 5

Katex

В основании пирамиды \(S A B C D\) лежит трапеция \(A B C D\) с большим основанием \(A D\). Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\). Точки \(M\) и \(N\) -- середины боковых сторон \(A B\) и \(C D\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(S O\).
a) Докажите, что сечение пирамиды \(S A B C D\) плоскостью \(\alpha\) является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды \(S A B C D\) плоскостью \(\alpha\), если \(A D=10, B C=\)\(=8, S O=8\), а прямая \(S O\) перпендикулярна прямой \(A D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex

В основании пирамиды \(S A B C D\) лежит трапеция \(A B C D\) с большим основанием \(A D\). Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\). Точки \(M\) и \(N\) - середины боковых сторон \(A B\) и \(C D\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(S O\).
a) Докажите, что сечение пирамиды \(S A B C D\) плоскостью \(\alpha\) является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды \(S A B C D\) плоскостью \(\alpha\), если \(A D=7, B C=5, S O=\)\(=4\), а прямая \(S O\) перпендикулярна прямой \(A D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex

В кубе \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами рёбер \(A B\) и \(A D\) соответственно.
a) Докажите, что прямые \(B_1 N\) и \(C M\) перпендикулярны.
б) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(C M\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1 N=6\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex

В кубе \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами рёбер \(A B\) и \(A D\) соответственно.
a) Докажите, что прямые \(B_1 N\) и \(C M\) перпендикулярны.
б) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(C M\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1 N=3 \sqrt{5}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex

В прямоугольном параллелепипеде \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) на диагонали \(B D_1\) отмечена точка \(N\) так, что \(B N\) : \(N D_1=1: 2\). Точка \(O\) -- середина отрезка \(C B_1\).
a) Докажите, что прямая \(N O\) проходит через точку \(A\).
б) Найдите объём параллелепипеда \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\), если длина отрезка \(N O\) равна расстоянию между прямыми \(B D_1\) и \(C B_1\) и равна \(\sqrt{2}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex

В прямоугольном параллелепипеде \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) на диагонали \(B D_1\) отмечена точка \(N\) так, что \(B N\) : \(N D_1=1: 2\). Точка \(O\) -- середина отрезка \(C B_1\).
a) Докажите, что прямая \(N O\) проходит через точку \(A\).
б) Найдите объём параллелепипеда \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\), если длина отрезка \(N O\) равна расстоянию между прямыми \(B D_1\) и \(C B_1\) и равна \(\sqrt{6}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex

Точка \(M\) -- середина бокового ребра \(S C\) правильной четырёхугольной пирамиды \(S A B C D\), точка \(N\) лежит на стороне основания \(B C\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно боковому ребру \(S A\).
a) Плоскость \(\alpha\) пересекает ребро \(D S\) в точке \(L\). Докажите, что \(B N: N C=D L: L S\).
б) Пусть \(B N: N C=1: 2\). Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(\alpha\) разбивает пирамиду.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex

Точка \(O\) -- точка пересечения диагоналей грани \(C D D_1 C_1\) куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\). Плоскость \(D A_1 C_1\) пересекает диагональ \(B D_1\) в точке \(F\).
a) Докажите, что \(B F: F D_1=A_1 F: F O\).
б) Точки \(M\) и \(N\) - середины ребер \(A B\) и \(A A_1\), соответственно. Найдите угол между прямой \(M N\) и плоскостью \(D A_1 C_1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex

Дана правильная четырёхугольная пирамида \(S A B C D\). Точка \(M\) -- середина \(S A\), на ребре \(S B\) отмечена точка \(N\) так, что \(S N: N B=1: 2\).
a) Докажите, что плоскость \(C M N\) параллельна прямой \(S D\).
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(C M N\), если все рёбра равны 12.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex

Точка \(M\) -- середина ребра \(A A_1\) треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\), в основании которой лежит треугольник \(A B C\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(B_1\) перпендикулярно прямой \(C_1 M\).
a) Докажите, что одна из диагоналей грани \(A C C_1 A_1\) равна одному из ребер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A C\) в отношении \(1: 5\), считая от вершины \(A\), \(A C=20, A A_1=32\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex

Точка \(M\) -- середина ребра \(A A_1\) треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\), в основании которой лежит треугольник \(A B C\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(B_1\) перпендикулярно прямой \(C_1 M\).
a) Докажите, что одна из диагоналей грани \(A C C_1 A_1\) равна одному из ребер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A C\) в отношении \(1: 3\), считая от вершины \(A\), \(A C=10, A A_1=12\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex

На сфере \(\alpha\) выбрали пять точек: \(A, B, C, D\) и \(S\). Известно, что \(A B=B C=C D=D A=\)\(=4, S A=S B=S C=S D=7\).
a) Докажите, что многогранник \(S A B C D\) - правильная четырёхугольная пирамида.
б) Найдите объём многогранника \(S A B C D\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса