Дан тетраэдр \(ABCD\). Точки \(K , L, M\) и \(N\) лежат на ребрах \(AC, AD, DB\) и \(BC\) соответственно, так, что четырехугольник \(KLMN\) квадрат со стороной \(2\). \(AK:KC=2:3\).
a) Докажите, что \(BM:MD=2:3\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(KLMN\), если объем тетраэдра равен \(25\).
\(\dfrac{27}{5}\ или\ 5,4\)
Все боковые стороны четырехугольной пирамиды \(SABCD\) равны \(AD\) стороне основания \(ABCD\). Стороны \(AB\), \(BC\) и \(CD\) вдвое меньше стороны \(AD\).
a) Докажите, что высота пирамиды, опущенная из вершины \(S\), проходит через середину \(AD\).
б) В каком отношении, считая от точки \(S\), плоскость \(BNM\) делит высоту пирамиды, если \(N\) – середина \(SC\), в точка \(M\) делит ребро \(SD\) в отношении \(1 : 3\), считая от точки \(S\).
\( \dfrac{1}{2}\ или\ 0,5\)
Дана прямая призма \(ABCA_1B_1C_1\). \(ABC\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AB\). На \(AB\) отмечена точка \(P\) такая, что \(AP : PB = 3 : 1\). Точка \(Q\) делит пополам ребро \(В_1С_1\). Точка \(M\) делит пополам ребро \(BC\). Через точку \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная \(РQ\).
a) Докажите, что прямая \(AB\) параллельна плоскости \(\alpha\).
б) Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит \(PQ\), если \(AA_1 = 5\), \(AB = 12\), \(\cos\angle{ABC} = \dfrac{3}{5}\).
\(\dfrac{16}{25}\ или\ 0,64\)
Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями \(AD = 5\) и \(BC = 4\). \(M\) — точка, которая делит сторону \(A_1D_1\) в отношении \(1 : 4\), \(K\) — середина \(DD_1\).
a) Доказать, что \(MCK \parallel BD\).
б) Найти тангенс угла между плоскостью \(MKC\) и плоскостью основания, если \(\angle{BAC} = 60^\circ\), а \(\angle{CKM} = 90^\circ\).
\(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
Основанием прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является параллелограмм. На рёбрах \(A_1B_1, B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M, K\) и \(N\) соответственно, причем \(BK : KC_1 = 1 : 2\), а \(AMKN\) – равнобедренная трапеция с основаниями \(2\) и \(3\).
a) Докажите, что \(N\) — середина \(BC\).
б) Найдите площадь трапеции \(AMKN\), если объем призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен \(12\), а её высота равна \(2\).
\(\dfrac{3\sqrt{37}}{2}\)
У тетраэдра \(ABCD\) грани \(ABD\) и \(ACD\) перпендикулярны и являются правильными треугольниками со стороной \(10\). На рёбрах \(AB, AD\) и \(CD\) взяли точки \(K, L\) и \(M\) соответственно так, что \(BK = 2, AL = 4\) и \(DM = 3\).
a) Докажите, что плоскость \(KLM\) перпендикулярна ребру \(CD\).
б) Найдите длину отрезка, образованного пересечением плоскости \(KLM\) с гранью \(ABC\).
\(\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
В основании четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) лежит квадрат. Плоскость \(\alpha\) пересекает рёбра \(SA, SB, SC, SD\) в точках \(L, K, M\) и \(N\) соответственно, причём \(SK : KB = 3:1\), а точки \(L\) и \(M\) — середины рёбер \(ЅА\) и \(SD\).
a) Докажите, что четырёхугольник \(KLMN\) является трапецией, длины оснований которой относятся как \(2:3\).
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(30^\circ\), а площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha\) равна \(10\sqrt{2}\), а площадь основания пирамиды равна \(32\).
\(4\)
Дана пирамида \(SABCD\), в основании которой лежит прямоугольник \(ABCD\). Сечение пирамиды — трапеция \(KLMN\), причём точки \(K, L, M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(SB, SA, SD\) и \(SC\) соответственно. Известно, что основания этой трапеции \(KL = 4, MN = 3\), а \(SK : KB = 2 : 1.\)
a) Докажите, что точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SD\) и \(SC\).
б) Пусть \(H\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), а \(SH\) — высота пирамиды \(SABCD\). Найдите \(SH\), если известно, что площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(48\), а площадь трапеции \(KLMN\) равна \(24\).
\(\dfrac{44\sqrt{23}}{7}\)