Стереометрия

На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 1 : 2\), на ребре \(BB_1\) — точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 1 : 5\), а точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB = 2\), \(AD = 6\), \(AA_1 = 6\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через вершину \(D_1\)

б) Найдите угол между плоскостью \(E F T\) и плоскостью \(A A_1 B_1\).

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.

а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=10, AB=12\).

B прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB=6\sqrt{2}\), \(AD=10\), \(AA_1=16\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E:EA=5:3\) и \(B_1F:FB=5:11\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через середину \(M\) диагонали \(AC_1\) проведена плоскость \(\alpha\) перпендикулярно этой диагонали, \(AB=5, BC=3, AA_1=4\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(D_1\).

б) Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A_1B_1\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB=2\sqrt{2}, AD=6\), \(AA_1=10\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E:EA=3:2\) и \(B_1F:FB=3:7\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).

а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.

а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=6, AB=4\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(B_1N\) и \(CM\) перпендикулярны.

б) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(CM\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1N=6\).

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=2:1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=1:2\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со стороной \(AB=5\) и диагональю \(BD=9\). Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\), а на ребре \(AS\) — точка \(F\) так, что \(SF=BE=4\).

а) Докажите, что плоскость \(CEF\) параллельна ребру \(SB\).

б) Плоскость \(CEF\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\). Найдите расстояние от точки \(Q\) до плоскости \(ABC\).

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с большим основанием \(AD\). Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(SO\).

а) Докажите, что сечение пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\) является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AD=10, BC=8\), \(SO=8\), а прямая \(SO\) перпендикулярна прямой \(AD\).

В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) сторона основания \(AB\) равна \(2\), а боковое ребро \(SA\) равно \(8\). Точка \(M\) — середина ребра \(АВ\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(D\). Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(KM = KD\).

б) Найдите объём пирамиды \(CDKM\).

Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\), причём \(AB=2\sqrt{2}, BC=4\). Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\).

а) Докажите, что \(P\) — середина отрезка \(BQ\).

б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\), если \(SD=4\).

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM=2\), \(SK=1\).

а) Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).

б) Найдите объём пирамиды \(BCKM\).

В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(SA\) равно \(7\). На ребрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причем \(AM=2\), \(SK=1\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(K\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(C\).

б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\).

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN:NC=SK:KC=1:2\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(SA\).

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно \(\sqrt{21}\). На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM=4\), \(SK:KB=1:3\).

а) Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).

б) Найдите объём пирамиды \(BCKM\).

В правильной шестиугольной пирамиде \(S A B C D E F\) сторона основания \(A B\) равна 5, а боковое ребро \(S A\) равно 9. Точка \(M\) лежит на ребре \(A B, A M=1\), а точка \(K\) лежит на ребре \(S C\). Известно, что \(M K=K D\).

а) Докажите, что плоскость \(D K M\) перпендикулярна плоскости \(A B C\).

б) Найдите площадь треугольника \(D K M\).

В основании пирамиды \(S A B C D\) лежит трапеция \(A B C D\) с основаниями \(A D\) и \(B C\), равными 8 и 3 соответственно. Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(S D\) и \(B C\) соответственно, причём \(S M: M D=3: 2, B N: N C=1: 2\). Плоскость \(A M N\) пересекает ребро \(S C\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(S K: K C=6: 1\).

б) Плоскость \(A M N\) делит пирамиду \(S A B C D\) на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение

а) Решите уравнение