Числа и их свойства

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а) Можно ли получить из число 128 число 29?

б) Можно ли получить из число 128 число 31?

в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Трехзначное число, все цифры которого ненулевые, разделили на произведение его цифр.

а) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 8?

б) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 222?

в) Какое наибольшее частное можно было получить в результате деления?

Дана правильная несократимая дробь \(\frac{a}{b}\). За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь \(\frac{(a+b)}{(b+2a)}\).

a) Можно ли из дроби \(\frac{2}{3}\) получить дробь \(\frac{29}{41}\).

б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь \(\frac{6}{7}\) за 2 хода.

в) Дробь \(\frac{c}{d}\) больше \(\frac{7}{10}\). Найдите минимальную дробь \(\frac{c}{d}\), которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Для чисел \(A\) и \(B\), состоящих из одинакового количества цифр, вычислили \(S\) - сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа \(A = 123\) и \(B = 579\) получается сумма \(S = 1 5+ 2 7+ 3 9 = 46\).

a) Существуют ли трёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 100\)?

б) Существуют ли пятизначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 400\)?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел \(A\) и \(B\)?

В игре число \(a=4\) и число \(b=5\), за ход можно сделать \((a-1; b+2)\) или \((a+2; b-1)\). (новые числа \(a\) и \(b\) всегда положительные).

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?

б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300?

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200?

В классе больше \(10\), но не больше \(26\) человек, доля девочек не более \(46\%\).

a) Может ли в классе быть \(9\) девочек?

б) Может ли в классе быть \(55\%\) девочек, если придёт ещё одна?

в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля \(\in \mathds{Z}\))

На доске написано трёхзначное число \(A\). Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число \(B\), затем Коля записывает число \(A\) и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число \(C\).

a) Может ли быть верным уравнение \(A = B \cdot C\), если \(A > 140\)?

б) Может ли быть верным уравнение \(A = B \cdot C\), если \(440 \leqslant A < 500\)?

в) Найдите наибольшее число \(A\) до 900, для которого выполняется \(A = B \cdot C\).

Дано квадратное уравнение \(x^2-px+q=0\) с натуральными коэффициентами \(p\) и \(q\) и с натуральными корнями \(x_1\) и \(x_2\).

a) Найти все значения \(p\), если \(q=5\).

б) Может ли быть \(p<10\), если \(q>30\)?

в) Найти наименьшее значение \(p\), если \(q>30\).