Числа и их свойства

ЕГЭ 2023

Другие бесплатные материалы от Профиматики
Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Задание 1
Katex

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а) Можно ли получить из число 128 число 29?

б) Можно ли получить из число 128 число 31?

в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) 2.\)

Задание 2
Katex

Трехзначное число, все цифры которого ненулевые, разделили на произведение его цифр.

а) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 8?

б) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 222?

в) Какое наибольшее частное можно было получить в результате деления?

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) 111.\)

Задание 3
Katex

Дана правильная несократимая дробь \(\frac{a}{b}\). За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь \(\frac{(a+b)}{(b+2a)}\).

a) Можно ли из дроби \(\frac{2}{3}\) получить дробь \(\frac{29}{41}\).

б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь \(\frac{6}{7}\) за 2 хода.

в) Дробь \(\frac{c}{d}\) больше \(\frac{7}{10}\). Найдите минимальную дробь \(\frac{c}{d}\), которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) \frac{5}{7}.\)

Задание 4
Katex

Для чисел \(A\) и \(B\), состоящих из одинакового количества цифр, вычислили \(S\) - сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа \(A = 123\) и \(B = 579\) получается сумма \(S = 1 5+ 2 7+ 3 9 = 46\).

a) Существуют ли трёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 100\)?

б) Существуют ли пятизначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 400\)?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел \(A\) и \(B\)?

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) да.\)

Задание 5
Katex

В игре число \(a=4\) и число \(b=5\), за ход можно сделать \((a-1; b+2)\) или \((a+2; b-1)\). (новые числа \(a\) и \(b\) всегда положительные).

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?

б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300?

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200?

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) нет;\,\, б) 291;\,\, в) 390.\)

Задание 6
Katex

В классе больше \(10\), но не больше \(26\) человек, доля девочек не более \(46\%\).

a) Может ли в классе быть \(9\) девочек?

б) Может ли в классе быть \(55\%\) девочек, если придёт ещё одна?

в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля \(\in \mathds{Z}\))

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) 50.\)

Задание 7
Katex

На доске написано трёхзначное число \(A\). Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число \(B\), затем Коля записывает число \(A\) и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число \(C\).

a) Может ли быть верным уравнение \(A = B \cdot C\), если \(A > 140\)?

б) Может ли быть верным уравнение \(A = B \cdot C\), если \(440 \leqslant A < 500\)?

в) Найдите наибольшее число \(A\) до 900, для которого выполняется \(A = B \cdot C\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) да;\,\, б) нет;\,\, в) 810.\)

Задание 8
Katex

Дано квадратное уравнение \(x^2-px+q=0\) с натуральными коэффициентами \(p\) и \(q\) и с натуральными корнями \(x_1\) и \(x_2\).

a) Найти все значения \(p\), если \(q=5\).

б) Может ли быть \(p<10\), если \(q>30\)?

в) Найти наименьшее значение \(p\), если \(q>30\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(а) 6;\,\, б) нет;\,\, в) 12.\)