Числа и их свойства

Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, которые использовали по одному разу, составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны 45.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?

б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?

в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 50% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю(в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на две кучки.

a) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?

б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?

Есть 29 монет по 5 рублей и 16 монет по 2 рубля

a) можно ли получить 175?

б) можно ли получить 176?

в) сколько нужно добавить монет по 1 рублю, чтобы можно было собрать любую сумму от 1 до 180 включительно?

Над парой целых чисел \((a;b)\) проводится операция, после которой получается пара \((3a+b; 3b-a)\).

a) Возможно ли из какой-то пары получить пару \((5; 5)\)?

б) Верно ли, что если пара \((c; d)\) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара \((-d; c)\) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел \((a; b)\) и \((c; d)\) выражением \(|a - c| + |b - d|\). Найдите наименьшее расстояние от пары \((9; 2)\) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

a) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку - целое число баллов от 0 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма - это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наиболышая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

a) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться \(\frac{2}{25}\)?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться \(\frac{2}{35}\)?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Из 24 последовательных нечётных чисел \(1,3,5, \ldots, 47\) выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть \(A\) - пятое по величине среди этих чисел, а \(B\) - их среднее арифметическое.

a) Может ли \(B-A\) равняться \(\frac{2}{9}\)?

б) Может ли \(B-A\) равняться \(\frac{5}{9}\)?

в) Найдите наибольшее возможное \(B-A\).

На сайте проводится опрос, кого из 164 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа \(9,3,10,5\) и 12,7 округляются до 9,11 и 13 соответственно.

a) Всего проголосовало 14 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 36. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться на 160 или больше?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Над парами целых чисел проводится операция: из пары \((a; b)\) получается пара \((3 a+b; 3 b+a)\). a) Можно ли из какой-то пары получить пару \((5 ;-1)\)?

б) Верно ли, что если пара \((c ; d)\) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара \((c-d ; d-c)\) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел \((a; b)\) и \((c ; d)\) выражением \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). Найдите наименьшее расстояние от пары \((9 ; 1)\) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.