Числа и их свойства

ЕГЭ 2017

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число \(n\), выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число \(n\), а остальные числа, равные \(n\), стираются. Например, если задуманы числа \(1,3,3,4\), то на доске будет записан набор \(1,3,4,5,6,7,8,10,11\).
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(2,4,6,8,10\).
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,15\), \(17,18,19,20,22 ?\)
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(7,8,10,15,16,17,18,23,24,25,26\), \(31,33,34,41\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 2

Katex

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотоНа доске написано 30 натуральных чисел.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325 , если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1467 , если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Готовься с нами на курсе

Пока ты откладываешь, другие уже набирают 90+ баллов. А ты?

Задание 4

Katex

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395, если на доске написаны только кратные 3 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1066 , если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 5

Katex

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100 .
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120 .
а) Может ли быть записано число 230?
б) Можно ли обойтись без числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивая на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9 , или четное, а сумма чисел равна 877.
а) Может ли быть на доске 27 четных чисел?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число \(n\), выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число \(n\), а остальные числа, равные \(n\), стирают. Например, если задуманы числа \(1,3,3,4\), то на доске будет записан набор \(1,3,4,9,12,36\).
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90\).
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(3,5,7,9,15,21,35,45,105\), 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).
а) Приведите пример, когда \(S<15\).
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если \(S=13\)?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если \(S=13\)?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).
а) Приведите пример, когда \(S<15\).
б) Могло ли значение \(S\) быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, и на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

\href{https://vkvideo.ru/video-193507941_456240982?t=1h58m2s{Видеоразбор задачи}}%

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).
а) Приведите пример, когда \(S᝿\).
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если \(S=13\)?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если \(S=13\)?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).
а) Приведите пример, когда \(S᝾\).
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если \(S=11\)?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если \(S=11\)?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 17

Katex

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число \(n\), выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число \(n\), а остальные числа, равные \(n\), стирают. Например, если задуманы числа \(1,3,3,4\), то на доске будет записан набор \(1,3,4,9,12,36\).
а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор \(2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150\).
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(2,5,10,11,22,25,55,110,275\), 550?
в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

\newpage

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 18

Katex Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа - число \(A\). Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число \(n\), выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число \(n\), а остальные числа, равные \(n\), стирают. Например, если задуманы числа \(1,3,3,4\), то на доске будет записан набор \(1,3,4,9,12,36\).
а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор \(2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150\).
а) Может ли число \(A\) равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число \(A\) быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число \(A\) может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 19

Katex

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11 , может получиться из трехзначного числа?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 20

Katex

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму х цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 21

Katex

Последовательность \(a_1, a_2, \ldots, a_6\) состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть \(M_k\) - среднее арифметическое х членов этой последовательности, кроме \(k\)-го. Известно, что \(M_1=7, M_2=6\).
а) Приведите пример такой последовательности, для которой \(M_3=6,4\).
б) Существует ли такая последовательность, для которой \(M_3=5\)?
в) Найдите наименьшее возможное значение \(M_3\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса