Top.Mail.Ru

Планиметрия

Медиана

Другие бесплатные материалы от Профиматики
Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Katex

▶ 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

\(S_{ABM}=S_{MBC}=\dfrac{S}{2}.\)

Katex

▶ 2. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей:

\(S_{AMC'}=S_{C'BM}=S_{MBA'}=S_{A'MC}= S_{CB'M} =S_{MAB'}=\dfrac{S}{6}.\)

Katex

▶ 3. В параллелограмме со сторонами \(a\), \(b\) и диагоналями \(d_1\), \(d_2\) выполняется тождество параллелограмма:

\(d^2_1 + d^2_2 = 2(a^2 + b^2).\)

Katex

▶ 4. Формула для нахождения длины медианы треугольника:

\(m_b^2=\dfrac{2a^2+2с^2-b^2}{4}.\)

Katex

Доказательство:

Треугольники \(ABM\) и \(BMC\) имеют общую высоту \(BH\), равную \(h\). Пусть \(AC = a\), тогда:

\(S_{ABM} = S_{MBC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}h = \dfrac{S}{2}\)

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Мы знаем, что:

\(S_{AMB'} = S_{B'MC};\;\;\; S_{AMC'} = S_{C'MB};\;\;\; S_{CMA'} = S_{A'MB}.\)

Известно, что площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания. Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), поэтому

\(S_{BAM} = 2S_{AMB'}\;\;\;\text{и}\;\;\; S_{BCM} = 2S_{B'MC},\)

а значит

\(S_{AMB'} = S_{AMC'} = S_{C'MB} = S_{B'MC} = S_{CMA'} = S_{A'MB} = \dfrac{S}{6}.\)

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Пусть \(\angle{BAD} = \alpha\). По теореме косинусов получаем, что

\(d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha}.\)

\(\angle{ABC} = 180^{\circ} - \alpha\), так как \(ABCD\) - параллелограмм. Также мы знаем, что

\(\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = \cos{\alpha}.\)

По теореме косинусов получаем второе соотношение:

\(d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha}.\)

Сложим полученные равенства:

\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).\)

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Продлим медиану \(BM\) за точку \(M\) на её длину, получим точку \(D\) такую, что \(BM = MD\). Получим параллелограмм \(ABCD\). Для него тождество параллелограмма запишется следующим образом:

\(b^2 + (2m)^2 = 2(a^2+c^2).\)

Выразив \(m^2\), получаем:

\(m^2=\dfrac{2a^2+2с^2-b^2}{4}.\)

\(\Box\)