Планиметрия
Медиана
▶ 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
▶ 2. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей:
\(S_{AMC'}=S_{C'BM}=S_{MBA'}=S_{A'MC}= S_{CB'M} =S_{MAB'}=\dfrac{S}{6}.\)
▶ 3. В параллелограмме со сторонами \(a\), \(b\) и диагоналями \(d_1\), \(d_2\) выполняется тождество параллелограмма:
▶ 4. Формула для нахождения длины медианы треугольника:
Доказательство:
Треугольники \(ABM\) и \(BMC\) имеют общую высоту \(BH\), равную \(h\). Пусть \(AC = a\), тогда:
\(S_{ABM} = S_{MBC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}h = \dfrac{S}{2}\)
\(\Box\)
Доказательство:
Мы знаем, что:
\(S_{AMB'} = S_{B'MC};\;\;\; S_{AMC'} = S_{C'MB};\;\;\; S_{CMA'} = S_{A'MB}.\)
Известно, что площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания. Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), поэтому
\(S_{BAM} = 2S_{AMB'}\;\;\;\text{и}\;\;\; S_{BCM} = 2S_{B'MC},\)
а значит
\(S_{AMB'} = S_{AMC'} = S_{C'MB} = S_{B'MC} = S_{CMA'} = S_{A'MB} = \dfrac{S}{6}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(\angle{BAD} = \alpha\). По теореме косинусов получаем, что
\(d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha}.\)
\(\angle{ABC} = 180^{\circ} - \alpha\), так как \(ABCD\) - параллелограмм. Также мы знаем, что
\(\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = \cos{\alpha}.\)
По теореме косинусов получаем второе соотношение:
\(d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha}.\)
Сложим полученные равенства:
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).\)
\(\Box\)
Доказательство:
Продлим медиану \(BM\) за точку \(M\) на её длину, получим точку \(D\) такую, что \(BM = MD\). Получим параллелограмм \(ABCD\). Для него тождество параллелограмма запишется следующим образом:
\(b^2 + (2m)^2 = 2(a^2+c^2).\)
Выразив \(m^2\), получаем:
\(m^2=\dfrac{2a^2+2с^2-b^2}{4}.\)
\(\Box\)
