Доказательство:

Треугольники \(ABC\) и \(AB'C\) имеют общую сторону \(AC\). Так как \(BB'\) и \(AC\) параллельны, то высоты \(BH\) и \(B'H'\) равны. По формуле площади треугольника получаем: \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC\cdot BH = \dfrac{1}{2}AC\cdot B'H' = S_{AB'C}.\)

\(\Box\)

Доказательство:

По формуле площади треугольника получаем: \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH;\;\;\; S_{A'B'C} = \dfrac{1}{2}A'B'\cdot CH,\) тогда

Доказательство:

По формуле площади треугольника получаем: \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BH_1\cdot AC;\;\;\; S_{AB'C} = \dfrac{1}{2}B'H_2\cdot AC,\) тогда

Доказательство:

Найдем площади треугольников \(ABC\) и \(AB'C'\) через синус угла:

\(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin{\alpha};\)

\(S_{AB'C'} = \dfrac{1}{2}AB'\cdot AC'\cdot\sin{\alpha}.\)

Тогда:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \dfrac{AB\cdot AC}{AB'\cdot AC'}.)

\(\Box\)

Доказательство:

Найдем площади треугольников \(ABC\) и \(AB'C'\) через синус угла:

\(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin{\alpha};\)

\(S_{AB'C'} = \dfrac{1}{2}AB'\cdot AC'\cdot\sin{\alpha}.\)

Тогда:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \dfrac{AB\cdot AC}{AB'\cdot AC'}.\)

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть \(h\) - длина высоты \(BH_1\) к стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\). \(BH_1\) является высотой треугольника \(ABE\); высоты \(EH_2\), \(CH_3\) треугольников \(BEC\) и \(CED\) также равны \(h\).

Получаем по формуле площади треугольника:

\(S_{ABE} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot h;\;\;\;S_{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot h;\;\;\;S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot h.\)

Тогда:

\(S_{ABE} + S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot h + \dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot (AE + ED)\cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot h = S_{BEC}.\)

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть \(S_{ABE} = S_{CBE}\), тогда по формуле площади треугольника через синус угла получаем:

\(S_{ABE} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EB\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{CBE} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EB\cdot\sin{\beta}\)

\(S_{AEM} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EM \cdot \sin{(180^{\circ} - \alpha)} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EM \cdot \sin{\alpha};\)

\(S_{CEM} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EM \cdot \sin{(180^{\circ} - \beta)} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EM \cdot \sin{\beta};\)

Получаем: \(\dfrac{S_{AEM}}{S_{CEM}} = \dfrac{AE\cdot\sin{\alpha}}{CE\cdot\sin{\beta}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EB\cdot\sin{\alpha}}{\dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EB\cdot\sin{\beta}} = \dfrac{S_{ABE}}{S_{CBE}} = 1.\)

То есть \(S_{AEM} = S_{CEM}\), при этом треугольники \(AEM\) и \(CEM\) имеют общую высоту к сторонам \(AM\) и \(MC\), значит \(AM = MC\).

\(\Box\)

Докажем обратное утверждение.

Пусть \(BM\) - медиана треугольника \(ABC\), тогда \(EM\) - медиана треугольника \(AEC\). Получаем, что \(S_{ABM} = S_{CBM}\) и \(S_{AEM} = S_{CEM}\). Тогда \(S_{ABE} = S_{ABM} - S_{AEM} = S_{CBM} - S_{CEM} = S_{CBE}\).

\(\Box\)

Доказательство:

Найдём площади треугольников \(LME\), \(MNE\), \(NKE\) и \(KLE\):

\(S_{LME} = \dfrac{1}{2}\cdot LE \cdot EM\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{MNE} = \dfrac{1}{2}\cdot ME \cdot EN\cdot\sin{(180^{\circ} - \alpha)}\)

\(S_{NKE} = \dfrac{1}{2}\cdot NE \cdot EK\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{KLE} = \dfrac{1}{2}\cdot KE \cdot EL\cdot\sin{(180^{\circ} - \alpha)}.\)

Так как четырёхугольник \(MNKL\) построен на серединах сторон четырёхугольника \(ABCD\), то \(MNKL\) - параллелограмм, а значит диагонали \(MNKL\) делятся точкой пересечения пополам, то есть \(ME = EK\), \(NE = EL\). Также \(\sin{\alpha} = \sin{(180^{\circ} - \alpha)}\), поэтому получаем, что

\(S_{LME} + S_{NKE} = \dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(LE \cdot EM + NE \cdot EK) = \dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(NE\cdot EM + KE\cdot EL) = S_{MNE} + S_{KLE}.\)

Далее заметим, что треугольники \(S_{MBN}\) и \(S_{ABC}\) подобны с коэффициентом подобия \(2\), значит \(S_{MBN} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}\). Аналогично получаем, что

\(S_{AML} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{ABD};\;\;\; S_{CNK} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{CBD};\;\;\; S_{DKL} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{DAC}.\)

При этом

\(S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD};\;\;\; S_{ABD} + S_{BCD} = S_{ABCD},\)

значит

\(S_{AML} + S_{CNK} = S_{MBN} + S_{DKL} = \dfrac{1}{4}S_{ABCD}.\)

Окончательно получаем:

\(S_1 + S_3 = S_{MBN} + S_{MNE} + S_{DKL} + S_{KLE} = (S_{MNE} + S_{KLE}) + (S_{MBN} + S_{DKL}) = S_{LME} + S_{NKE} + S_{AML} + S_{CNK} = S_2 + S_4.\)

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть \(\alpha = \angle{BEC}\), тогда \(\alpha = \angle{AED}\) (\(\angle{BEC}\) и \(\angle{AED}\) равны как вертикальные углы) и \(\angle{AEB} = \angle{DEC} = 180^{\circ} - \alpha\) (так как углы \(\angle{BEC}\) и \(\angle{DEC}\) являются смежными). Также мы знаем, что \(\sin{\alpha} = \sin{(180^{\circ} - \alpha)}\). Найдём площади треугольников:

\(S_{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot EC\cdot \sin{\alpha};\;\;\;S_{AED} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot ED\cdot \sin{\alpha};\)

\(S_{AEB} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot\sin{\alpha};\;\;\; S_{DEC} = \dfrac{1}{2}\cdot DE\cdot EC\cdot\sin{\alpha}.\)

Получаем: \(S_{BEC}\cdot S_{AED} = \left(\dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot EC\cdot\sin{\alpha}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot ED\cdot \sin{\alpha}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot\sin{\alpha}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot CE\cdot ED\cdot\sin{\alpha}\right) = S_{AEB}\cdot S_{DEC}.\)

\(\Box\)

Доказательство:

Через точку \(F\) проведём отрезок \(H_1H_2\) параллельно высоте \(BH\) параллелограмма. \(ABCD\) - параллелограмм, поэтому \(AD = BC\). Тогда получаем:

\(S_{BFC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot FH_1;\;\;\;S_{AFD} = \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot FH_2.\)

Получаем:

\(S_{BFC} + S_{AFD} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot FH_1 + \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot FH_2 = \dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot (FH_1 + FH_2) = \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot BH = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}.\)

\(\Box\)

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда \(AD\) и \(BC\) параллельны. Пусть

\(x = \dfrac{1}{3}\cdot BC;\;\;\; y = \dfrac{1}{3}\cdot AD,\)

\(h\) - высота четырехугольника к стороне \(AD\). Тогда

\(S_{ABB_1A_1} = S_{A_1B_1C_1D_1} = S_{D_1C_1CD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} = \dfrac{(x + y)\cdot h}{2},\)

значит,

\(S_{A_1B_1C_1D_1} = \dfrac{1}{2}\left(S_{ABB_1A_1} + S_{D_1C_1CD}\right).\)

Теперь пусть \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(M\). Пусть \(\alpha = \angle{AMB}\). Тогда:

\(S_{D_1C_1CD}=S_{MC_1D_1}-S_{MCD}=\dfrac{1}{2}(a + y)\cdot (b + x)\cdot\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}ab\cdot\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}(ax + by + xy)\cdot\sin{\alpha};\)

\(S_{A_1B_1C_1D_1}=S_{MB_1A_1}-S_{MC_1D_1}=\dfrac{1}{2}(a + 2y)\cdot(b+2x)\cdot\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}(a+y)\cdot(b+x)\cdot\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}(ax+by+3xy)\cdot\sin{\alpha};\)

\(S_{ABB_1A_1}=S_{MBA}-S_{MB_1A_1}=\dfrac{1}{2}(a + 3y)\cdot (b + 3x)\cdot \sin{\alpha} - \dfrac{1}{2}(a + 2y)\cdot (b + 2x)\cdot\sin{\alpha} = \dfrac{1}{2}(ax + by + 5xy)\sin{\alpha};\)

Отсюда получаем:

\(\dfrac{1}{2}\cdot\left(S_{ABB_1A_1} + S_{D_1C_1CD}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}(ax + by + 5xy)\cdot\sin{\alpha} + \dfrac{1}{2}(ax + by + xy)\cdot \sin{\alpha}\right) = \dfrac{1}{2}(ax + by + 3xy)\cdot\sin{\alpha} = S_{A_1B_1C_1D_1}.\)

\(\Box\)