Планиметрия
Свойства
ортоцентра
▶ 1.
Пусть в треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\). Тогда вокруг четырёхугольников \(AC_1HB_1\), \(CB_1HA_1\), \(BC_1HA_1\) и \(AC_1A_1C\), \(BC_1B_1C\), \(AB_1A_1B\) можно описать окружности.
▶ 2.
Пусть в треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\). Треугольник \(A_1B_1C_1\) называется ортотреугольником, а высоты треугольника \(ABC\) содержат биссектрисы углов треугольника \(A_1B_1C_1\).
▶ 3.
Пусть в треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), которые пересекают описанную вокруг \(ABC\) окружность в точках \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) соответственно. Тогда \(HA_1 = A_1A_2;\;\;\; HB_1 = B_1B_2;\;\;\; HC_1 = C_1C_2,\) где \(H\) - ортоцентр треугольника.
▶ 4.
Пусть \(H\) - ортоцентр треугольника \(ABC\), \(M\) - середина стороны \(AB\), \(P\) - точка пересечения прямой \(HM\) описанной вокруг \(ABC\) окружностью, тогда \(PM = MH\).
▶ 5.
Пусть \(H\) - ортоцентр треугольника \(ABC\), \(O\) - центр описанной вокруг \(ABC\) окружности. Тогда расстояние от точки \(B\) до \(H\) вдвое больше, чем расстояние от точки \(O\) до стороны \(AC\).
▶ 6.
\(H\) - ортоцентр треугольника \(ABC\), \(O\) - центр описанной вокруг \(ABC\) окружности, тогда \(\angle{ABO} = \angle{HBC}\).
▶ 7.
Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг.
Доказательство:
Докажем утверждение для четырёхугольников \(AC_1HB_1\) и \(AC_1A_1C\).
Мы знаем, что \(\angle{AC_1H} = \angle{AB_1H} = 90^{\circ}\), поэтому \(\angle{AC_1H} + \angle{AB_1H} = 180^{\circ}\), значит по первому признаку вписанного четырёхугольника мы можем описать окружность вокруг четырёхугольника \(AC_1HB_1\).
В четырёхугольнике \(AC_1A_1C\) углы \(AC_1C\) и \(AA_1C\) опираются на одну и ту же сторону и равны \(90^{\circ}\), значит, по второму признаку вписанного четырёхугольника мы можем описать окружность вокруг четырёхугольника \(AC_1A_1C\).
\(\Box\)
Доказательство:
Докажем, что высота \(CC_1\) делит угол \(\angle{A_1C_1B_1}\) пополам. Для остальных углов доказательство будет аналогичным.
Рассмотрим четырёхугольники \(AC_1HB_1\) и \(AC_1A_1C\). Вокруг \(AC_1HB_1\) можно описать окружность, поэтому \(\angle{HAB_1} = \angle{B_1C_1H}\), так как эти углы опираются на одну и ту же дугу. Вокруг \(AC_1A_1C\) можно описать окружность, поэтому \(\angle{A_1AC} = \angle{A_1C_1C}\), а значит, \(\angle{A_1C_1C} = \angle{B_1C_1H}\), то есть высота \(CC_1\) делит угол \(\angle{A_1C_1B_1}\) пополам.
\(\Box\)
Доказательство: Докажем, что \(HA_1 = A_1A_2\). Остальные равенства будут доказываться аналогично. Вписанные углы \(\angle{CBA_2}\) и \(\angle{A_2AC}\) опираются на одну и ту же дугу, поэтому: \[
\angle{CBA_2} = \angle{A_2AC}.
\] При этом вокруг четырёхугольника \(AB_1A_1B\) можно описать окружность (так как \(\angle{AB_1B} = \angle{AA_1B} = 90^{\circ}\)), а значит: \[
\angle{A_1AB_1} = \angle{A_1BB_1}.
\] Причём \(\angle{A_1AB_1} = \angle{CBA_2}\), то есть: \[
\angle{A_1BB_1} = \angle{CBA_2}.
\] Таким образом, \(BA_1\) — биссектриса треугольника \(HBA_2\). При этом она также является высотой этого треугольника, а значит, \(HBA_2\) — равнобедренный. Следовательно, \(BA_1\) также является медианой, то есть: \[
HA_1 = A_1A_2.
\]
\(\Box\)
Доказательство:
Отрезок \(OM\) перпендикулярен стороне \(AC\), так как \(M\) — середина стороны \(AC\), а \(O\) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника \(ABC\).
Пусть \(AA_1\) и \(CC_1\) — высоты треугольника. Проведём диаметр окружности \(BP\). Углы \(\angle{PAB}\) и \(\angle{PCB}\) опираются на диаметр, поэтому:
\[
\angle{PAB} = \angle{PCB} = 90^{\circ}.
\]
Так как \(\angle{AC_1C} = 90^{\circ}\), отрезки \(AP\) и \(C_1C\) параллельны. В частности, параллельны отрезки \(AP\) и \(HC\).
Аналогично, так как \(\angle{AA_1C} = 90^{\circ}\), отрезки \(CP\) и \(A_1A\) параллельны. В частности, параллельны отрезки \(CP\) и \(AH\).
Получаем, что в четырёхугольнике \(AHCP\) противоположные стороны параллельны, а значит, \(AHCP\) — параллелограмм.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
\(MH = PM.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть луч \(HM\) пересекает окружность в точке \(P\) (\(M\) — середина стороны \(AC\)). \(OM\) — серединный перпендикуляр к стороне \(AC\). \(BH\) — часть высоты, проведённой к стороне \(AC\), значит, отрезки \(OM\) и \(BH\) параллельны, поэтому:
\[\angle{PBH} = \angle{POM}.\]
Значит, треугольники \(PBH\) и \(POM\) подобны по двум углам (угол \(BPH\) является общим) с коэффициентом подобия \(2\), значит:
\[BH = 2OM.\]
\(\Box\)
Доказательство:
Рассмотрим треугольник \(AOB\), он является равнобедренным, а значит, высота \(OM\) в нём также является биссектрисой.
Центральный угол \(\angle{AOB}\) и вписанный угол \(\angle{ACB}\) опираются на одну и ту же дугу, поэтому:
\[\angle{ACB} = \dfrac{1}{2}\angle{AOB}.\]
Так как \(OM\) — биссектриса угла \(\angle{AOB}\), то:
\[\angle{MOB} = \angle{ACB}.\]
Таким образом, в прямоугольных треугольниках \(MOB\) и \(B_1CB\) имеем, что \(\angle{MOB} = \angle{B_1CB}\), значит:
\[\angle{ABO} = \angle{B_1BC} = \angle{HBC}.\]
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(L\) — точка пересечения \(BO\) и \(A_1C_1\). Четырёхугольник \(AC_1A_1C\) является вписанным, поэтому:
Мы знаем, что:
\[
\angle{BAB_1} = \angle{BA_1C_1},
\]
при этом:
\[
\angle{ABB_1} = \angle{OBC}.
\]
Значит, в треугольниках \(ABB_1\) и \(A_1BL\) совпадают два угла, следовательно, совпадают все три:
\[
\angle{AB_1B} = \angle{A_1LB} = 90^{\circ}.
\]
\(\Box\)
