Планиметрия
Центральные и
вписанные углы
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность называется вписанным.
▶ 1.
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен его половине.
Замечание: В частности два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
▶ 2. Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
▶ 3.
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, стягиваемую хордой.
▶ 4.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме выскаемых ими дуг.
▶ 8.
На отрезке \(AB\) как на диаметре построили окружность. Тогда:
1) Из точек, лежащих строго внутри окружности, диаметр \(AB\) виден под тупым углом.
2) Из точек, лежащих на самой окружности, диаметр \(AB\) виден под прямым углом.
3) Из точек, лежащих вне окружности, диаметр \(AB\) виден под острым углом.
▶ 9.
Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.
▶ 10.
Дуги, заключенные между хордой и параллельной ей касательной, равны.
▶ 11.
Дуги, стягиваемые равными хордами, равны.
Замечание:
Любая хорда стягивает две дуги окружности (например, хорда \(AB\) стягивает дуги \(\stackrel{\smile}{AB}\) и \(\stackrel{\smile}{BA}\)). Тогда, если хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то дуга \(\stackrel{\smile}{AB}\) равна дуге \(\stackrel{\smile}{CD}\) и дуга \(\stackrel{\smile}{BA}\) равна дуге \(\stackrel{\smile}{DC}\).
▶ 5.
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
▶ 6.
Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг.
▶ 7.
Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг.
▶ 12.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам саму хорду и дугу, стягиваемую ею.
Обратно, диаметр, проходящий через середину хорды перпендикулярен ей.
▶ 13.
Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\), тогда
▶ 14.
Пусть \(M\) - точка вне окружности, \(a\) - расстояние от точки \(M\) до центра окружности, \(r\) - радиус окружности. Пусть \(BM\) - касательная к окружности. Секущая из точки \(M\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(C\), тогда
\(BM^2=MC\cdot MA=a^2-r^2\)
Замечание: Данное утверждение можно также переформулировать иначе.
Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.
▶ 15.
Пусть \(M\) - точка вне окружности. \(ME\) - касательная к окружности. Из точки \(M\) выходят две секущие: первая пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\), вторая - в точках \(C\) и \(D\). Тогда:
\(ME^2=MA\cdot MB=MC\cdot MD\)
Доказательство:
Рассмотрим \(3\) случая расположения точки \(C\).
Случай 1: Пусть точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\). Тогда \(AC\) - диаметр и \(OC = OB\), то есть треугольник \(COB\) - равнобедренный и \(\angle{OCB} = \angle{OBC}\). Внешний угол \(\angle{AOB}\) равен сумме внутренних, не смежных с ним. Получаем, что
\(\angle{AOB} = \angle{OCB} + \angle{OBC} = 2\angle{OCB} = 2\angle{ACB}.\)
Случай 2: Пусть точка \(O\) лежит внутри угла \(ACB\). Продолжим прямую \(CO\) до пересечения с окружностью в точке \(D\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(CD\), а значит, \(\angle{AOD} = 2\angle{ACD}\) и \(\angle{DOB} = 2\angle{DCB}\) (см. случай \(1\)), поэтому \(\angle{AOB} = 2\angle{ACB}\).
Случай 3: Пусть точка \(O\) лежит вне угла \(ACB\). Продолжим прямую \(CO\) до пересечения с окружностью в точке \(D\). Без ограничения общности, считаем, что точка \(A\) лежит внутри угла \(DCB\). Тогда
\(\angle{AOB} = \angle{BOD} - \angle{AOD} = 2\angle{BCD} - 2\angle{ACD} = 2\angle{ACB}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Допустим, что радиус окружности, проведенный в точку касания, не перпендикулярен касательной. Тогда из центра окружности проведём к касательной отрезок, перпендикулярный ей. При этом радиус является наклонной к касательной, а значит, расстояние от точки \(O\) до касательной меньше радиуса, поэтому касательная имеет две точки пересечения с окружностью. Получаем противоречие.
\(\Box\)
Доказательство:
Продлим отрезок \(BO\) до пересечения с окружностью в точке \(D\). Тогда по теореме о вписанном угле получаем, что \(\angle{BDC} = \angle{BAC}\). Угол \(BCD\) опирается на диаметр окружности, а значит, он равен \(90^{\circ}\), поэтому
\(\angle{CBD} = 90^{\circ} - \angle{BDC} = 90^{\circ} - \angle{BAC}.\)
\(OB\) - радиус окружности, а значит, \(\angle{DBE} = \angle{OBE} = 90^{\circ}\). Таким образом
\(\angle{CBE} = 90^{\circ} - \angle{CBD} = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \angle{BAC}) = \angle{BAC}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(E\) - точка пересечения хорд \(AC\) и \(BD\). Рассмотрим треугольник \(AED\). Мы знаем, что \(\angle{BDA} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{AB}\) и \(\angle{CAD} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CD}\). Тогда получаем:
\(\angle{AED} = 180^{\circ} - \angle{BDA} - \angle{CAD} = 180^{\circ} - \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{CD}}{2}.\)
Значит,
\(\angle{CED} = 180^{\circ} - \angle{AED} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{CD}}{2}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Рассмотрим треугольник \(MDB\). Мы знаем, что \(\angle{MBD} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CD}\) и \(\angle{ADB} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{AB}\). Угол \(ADB\) - внешний для треугольника \(MDB\), значит,
\(\angle{ADB} = \angle{DMB} + \angle{MBD},\)
то есть \(\angle{DMB} = \angle{ADB} - \angle{MBD} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} - \stackrel{\smile}{CD}}{2}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Рассмотрим треугольник \(ABC\). По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что \(\angle{BAC} = \angle{CBM}\). По теореме о вписанном угле мы знаем, что \(\angle{ACB} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{BA}\) и \(\angle{CBM} = \angle{BAC} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CB}\). Угол \(ACB\) является внешним для треугольника \(MBC\), значит,
\[\angle{ACB} = \angle{CBM} + \angle{CMB},\]
то есть
\(\angle{CMB} = \angle{ACB} - \angle{CBM} = \dfrac{\stackrel{\smile}{BA} - \stackrel{\smile}{CB}}{2}.\)
\(\Box\)
Доказательство:
Четырёхугольник \(AOBM\) - дельтоид, потому, что \(AO\) и \(OB\) - радиусы окружности, \(MA\) и \(MB\) - касательные, проведённые из одной точки. При этом по теореме об угле между касательной и радиусом получаем, что \(\angle{OAM} = \angle{OBM} = 90^{\circ}\), значит, вокруг \(AOBM\) можно описать окружность. Поэтому \(\angle{AOB} + \angle{AMB} = 180^{\circ}\). Угол \(AOB\) - центральный, поэтому \(\angle{AOB} = \stackrel{\smile}{AB}\). Также мы знаем, что \(\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA} = 360^{\circ}\), то есть \(\dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA}}{2} = 180^{\circ}\). Значит
\(\stackrel{\smile}{AB} + \angle{AMB} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA}}{2},\)
то есть \(\angle{AMB} = \dfrac{\stackrel{\smile}{BA} - \stackrel{\smile}{AB}}{2}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Для начала рассмотрим случай, когда точка \(C_2\) лежит на окружности. Тогда угол \(\angle{AC_2B}\) опирается на диаметр окружности, значит, по теореме о вписанном угле следует, что \(\angle{AC_2B} = 90^{\circ}\).
Далее рассмотрим случай \(1\). Пусть точка \(C_1\) лежит внутри окружности. Продлим отрезок \(AC_1\) до пересечения с окружностью в точке \(D\). Тогда \(\angle{ADB} = 90^{\circ}\), значит, \(\angle{BC_1D} < 90^{\circ}\), так как \(\angle{BC_1D}\) - угол между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике \(BDC_1\). Таким образом, получаем, что \(\angle{AC_1B} = 180^{\circ} - \angle{BC_1D} > 90^{\circ}\).
Рассмотрим случай \(3\). Пусть точка \(C_3\) лежит вне окружности и \(D\) - точка пересечения отрезка \(AC_3\) с окружностью. Тогда \(\angle{ADB} = 90^{\circ}\), поэтому \(\angle{BDC_3} = 90^{\circ}\), значит, \(\angle{BC_3D} < 90^{\circ}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Так как отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны, то углы \(DAC\) и \(ACB\) равны как внутренние накрест лежащие, значит, они опираются на равные дуги.
\(\Box\)
Доказательство:
Углы \(CAD\) и \(ACB\) равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых. При этом по теореме об угле между касательной и хордой получаем, что \(\angle{CAD} = \angle{ABC}\). Значит, \(\angle{ACB} = \angle{ABC}\), поэтому равны и соответствующие им дуги \(\stackrel{\smile}{AB}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(DOC\). \(AO = OB = DO = OC\), так как это радиусы окружности, при этом \(AB = CD\), значит, треугольники \(AOB\) и \(DOC\) равны по трём сторонам, поэтому \(\angle{AOB} = \angle{DOC}\), то есть равны и соответствующие этим центральным углам дуги, то есть \(\stackrel{\smile}{AB} = \stackrel{\smile}{DC}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(CD\) - диаметр, \(AB\) - хорда перпендикулярная \(CD\). Рассмотрим треугольник \(AOB\), он равнобедренный, так как \(OA\) и \(OB\) - радиусы окружности. \(OM\) - высота треугольника \(AOB\), проведённая к основанию, значит \(OM\) также является биссектрисой. Поэтому дуги, на которые опираются центральные углы \(AOD\) и \(BOD\), равны. Аналогично доказывается, что \(\stackrel{\smile}{AC} = \stackrel{\smile}{CB}\).
Обратно, пусть диаметр $CD$ проходит проходит через середину хорды \(AB\). \(AOB\) - равнобедренный треугольник, а значит \(OM\) - высота треугольника \(AOB\), то есть диаметр окружности перпендикулярен хорде \(AB\).
\(\Box\)
Доказательство: Рассмотрим треугольники \(DEA\) и \(CEB\). Вписанные углы \(ADC\) и \(ABC\) опираются на одну и ту же дугу, значит, \(\angle{ADC} = \angle{ABC}\). Аналогично получаем, что \(\angle{DAB} = \angle{DCB}\), значит, треугольники \(DEA\) и \(CEB\) подобны по двум углам. Таким образом, \(
\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{EB},
\) значит, \(
AE \cdot EB = DE \cdot EC.
\)
\(\Box\)
Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(BCM\). По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что \(\angle{BAC} = \angle{CBM}\). Угол \(BMA\) общий для треугольников \(ABM\) и \(BCM\), значит, они подобны. Получаем, что \(
\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MC}{MB},
\) значит, \(MB^2 = MC \cdot MA\). Треугольник \(OBM\) — прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, по теореме Пифагора получаем, что \(
OM^2 = OB^2 + MB^2,
\) значит, \(
MB^2 = a^2 - r^2.
\)
\(\Box\)
