Доказательство:

\(ABCD\) - прямоугольник, следовательно, \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\). Получаем, что треугольники \(BAD\) и \(ADC\) равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому \(AC = BD\).

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть \(E\) - точка пересечений диагоналей ромба. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть \(AE = EC\) и \(BE = ED\). Треугольник \(ABC\) является равнобедренным, причём \(BE\) - медиана треугольника \(ABC\), проведённая к основанию, а значит, она также является высотой, поэтому отрезок \(BE\) перпендикулярен отрезку \(AC\), а значит, \(BD\) перпендикулярен \(AC\).

\(\Box\)

Доказательство:

Треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ADC\), \(DCB\) являются равнобедренными, поэтому их медианы \(BE\), \(AE\), \(DE\) и \(CE\) также являются биссектрисами, а значит, \(\angle{ABE} = \angle{CBE}\), \(\angle{BAE} = \angle{DAE}\), \(\angle{ADE} = \angle{CDE}\) и \(\angle{BCE} = \angle{DCE}\).

\(\Box\)

Доказательство:

Углы \(A\) и \(B\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\). По тем же причинам сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^{\circ}\), в частности, верно, что \(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ}\). А значит, \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - \angle{BAD} = \angle{ABC}\). Аналогично получим, что \(\angle{BAD} = \angle{BCD}\).

Докажем обратное утверждение. Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) сумма любых двух соседних углов равна \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\), причём эти углы являются внутренними односторонними при прямых \(BC\), \(AD\) и секущей \(AB\). Отсюда получаем, что отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны. Аналогично можем доказать, что параллельны отрезки \(AB\) и \(CD\).

\(\Box\)

Доказательство:

В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что

\(\angle{DAB} + \angle{ABC} + \angle{BCD} + \angle{CDA} = 360^{\circ}.\)

Также мы знаем, что

\(\angle{DAB} = \angle{BCD}\; \text{и} \;\; \angle{ABC} = \angle{CDA}.\)

Отсюда следует, что

\(\angle{DAB} + \angle{ABC} = 180^{\circ}.\)

Аналогично, сумма других соседних углов также равна \(180^{\circ}\), а значит, \(ABCD\) - параллелограмм.

\(\Box\)

Доказательство:

Углы \(\angle{BAC}\) и \(\angle{ACD}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\). Аналогично доказываем, что \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом сторона \(AC\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по двум углам и стороне между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\) и \(AD = BC\).

Докажем обратное утверждение. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). Мы знаем, что \(AB = CD\) и \(BC = AD\), при этом \(AC\) - общая сторона для наших треугольников. Значит треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\) и \(\angle{ACD} = \angle{BAC}\), то есть отрезки \(AB\) и \(CD\), \(AD\) и \(BC\) попарно параллельны.

\(\Box\)

Доказательство:

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(AC = BD\). Тогда из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны. Причём \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\), но по свойству параллелограмма верно, что

\(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ},\)

значит \(\angle{BAD} = \angle{ADC} = 90^{\circ}\), поэтому \(ABCD\) - прямоугольник.

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны и равны. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). \(BC\) и \(AD\) параллельны, а значит, \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом \(AD = BC\) и \(AC\) — общая сторона для данных треугольников. Из этого следует, что треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(AB = CD\) и, значит, в \(ABCD\) противоположные стороны равны, то есть \(ABCD\) — параллелограмм.

\(\Box\)

Доказательство:

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\). Углы \(\angle{OAD}\) и \(\angle{OCB}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, а значит, \(\angle{OAD} = \angle{OCB}\). По тем же причинам верно, что \(\angle{OBC} = \angle{ODA}\). В параллелограмме противоположные стороны равны, а значит, \(AD = BC\). Таким образом, треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны по двум углам и стороне между ними, поэтому \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Доказательство:

Заметим, что \(\angle{ADN} = \angle{DNC}\), так как данные углы являются накрест лежащими. То есть \(\angle{DNC} = \angle{NDC}\), значит, треугольник \(DCN\) является равнобедренным.

Доказательство 11 пункт:

Пусть \(ABCD\) — дельтоид, причём \(BC = AB\) и \(AD = CD\). Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\). Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам. Отсюда получаем, что \(\angle{CBD} = \angle{DBA}\) и \(\angle{ADB} = \angle{CDB}\).

Доказательство:

Центр вписанной в дельтоид окружности лежит на биссектрисе угла \(\angle{B}\), то есть \(\angle{CBO} = \angle{ABO}\). Рассмотрим треугольники \(CBO\) и \(ABO\). \(AB = BC\) и \(BO\) — общая сторона для этих треугольников. Тогда получаем, что данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \(CO = OA\).

Доказательство:

Пусть вокруг дельтоида \(ABCD\) можно описать окружность, причём \(AB = BC\) и \(AD = CD\). Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\). Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам, значит, \(\angle{BCD} = \angle{BAD}\). Так как вокруг данного дельтоида можно описать окружность, то \(\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}\), но тогда \(\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}\).