Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
▶ 1. Диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм у которого все стороны равны.
▶ 2. Диагонали ромба перпендикулярны.
▶ 3. Диагонали ромба делят его углы пополам.
▶ 4. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^{\circ}\), а противоположные углы равны.
Обратно: если в четырёхугольнике сумма любых двух соседних углов равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник является параллелограммом.
▶ 5. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
▶ 6. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
Обратно: если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
▶ 7.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
▶ 8.
Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
▶ 9.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Обратно: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
▶ 11.
Одна из диагоналей дельтоида является биссектрисой двух его углов.
▶ 12.
Диагонали дельтоида перпендикулярны.
▶ 13.
В дельтоид \(ABCD\) можно вписать окружность. Если \(AB = BC\), \(AD = DC\) и \(O\) - центр вписанной окружности, то \(CO = OA\).
▶ 14.
Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по \(90^{\circ}\).
▶ 10.
Пусть в параллелограмме проведена биссектриса угла \(D\). Тогда треугольники \(DCN\), \(NBK\), \(DAK\) - равнобедренные.
Дельтоидом называется четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.
Доказательство:
\(ABCD\) - прямоугольник, следовательно, \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\). Получаем, что треугольники \(BAD\) и \(ADC\) равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому \(AC = BD\).
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(E\) - точка пересечений диагоналей ромба. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть \(AE = EC\) и \(BE = ED\). Треугольник \(ABC\) является равнобедренным, причём \(BE\) - медиана треугольника \(ABC\), проведённая к основанию, а значит, она также является высотой, поэтому отрезок \(BE\) перпендикулярен отрезку \(AC\), а значит, \(BD\) перпендикулярен \(AC\).
\(\Box\)
Доказательство:
Треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ADC\), \(DCB\) являются равнобедренными, поэтому их медианы \(BE\), \(AE\), \(DE\) и \(CE\) также являются биссектрисами, а значит, \(\angle{ABE} = \angle{CBE}\), \(\angle{BAE} = \angle{DAE}\), \(\angle{ADE} = \angle{CDE}\) и \(\angle{BCE} = \angle{DCE}\).
\(\Box\)
Доказательство:
Углы \(A\) и \(B\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\). По тем же причинам сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^{\circ}\), в частности, верно, что \(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ}\). А значит, \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - \angle{BAD} = \angle{ABC}\). Аналогично получим, что \(\angle{BAD} = \angle{BCD}\).
Докажем обратное утверждение. Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) сумма любых двух соседних углов равна \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\), причём эти углы являются внутренними односторонними при прямых \(BC\), \(AD\) и секущей \(AB\). Отсюда получаем, что отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны. Аналогично можем доказать, что параллельны отрезки \(AB\) и \(CD\).
\(\Box\)
Доказательство:
В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что
\(\angle{DAB} + \angle{ABC} + \angle{BCD} + \angle{CDA} = 360^{\circ}.\)
Также мы знаем, что
\(\angle{DAB} = \angle{BCD}\; \text{и} \;\; \angle{ABC} = \angle{CDA}.\)
Отсюда следует, что
\(\angle{DAB} + \angle{ABC} = 180^{\circ}.\)
Аналогично, сумма других соседних углов также равна \(180^{\circ}\), а значит, \(ABCD\) - параллелограмм.
\(\Box\)
Доказательство:
Углы \(\angle{BAC}\) и \(\angle{ACD}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\). Аналогично доказываем, что \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом сторона \(AC\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по двум углам и стороне между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\) и \(AD = BC\).
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). Мы знаем, что \(AB = CD\) и \(BC = AD\), при этом \(AC\) - общая сторона для наших треугольников. Значит треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\) и \(\angle{ACD} = \angle{BAC}\), то есть отрезки \(AB\) и \(CD\), \(AD\) и \(BC\) попарно параллельны.
\(\Box\)
Доказательство:
В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(AC = BD\). Тогда из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны. Причём \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\), но по свойству параллелограмма верно, что
\(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ},\)
значит \(\angle{BAD} = \angle{ADC} = 90^{\circ}\), поэтому \(ABCD\) - прямоугольник.
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны и равны.
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). \(BC\) и \(AD\) параллельны, а значит, \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом \(AD = BC\) и \(AC\) — общая сторона для данных треугольников.
Из этого следует, что треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними,
поэтому \(AB = CD\) и, значит, в \(ABCD\) противоположные стороны равны, то есть \(ABCD\) — параллелограмм.
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\).
Углы \(\angle{OAD}\) и \(\angle{OCB}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых,
а значит, \(\angle{OAD} = \angle{OCB}\). По тем же причинам верно, что \(\angle{OBC} = \angle{ODA}\).
В параллелограмме противоположные стороны равны, а значит, \(AD = BC\).
Таким образом, треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны по двум углам и стороне между ними,
поэтому \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
Докажем обратное утверждение. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).
Тогда \(AO = OC\) и \(BO = OD\), а также \(\angle{AOD} = \angle{BOC}\), так как они являются
вертикальными. Получаем, что треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны
по двум сторонам и углу между ними, значит, \(AD = BC\) и \(\angle{OAD} = \angle{OCB}\).
Таким образом, отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны и равны, то есть \(ABCD\) — параллелограмм.
\(\Box\)
Доказательство:
Заметим, что \(\angle{ADN} = \angle{DNC}\), так как данные углы являются накрест лежащими.
То есть \(\angle{DNC} = \angle{NDC}\), значит, треугольник \(DCN\) является равнобедренным.
Углы \(BNK\) и \(DNC\) равны, так как являются вертикальными.
\(\angle{NDC} = \angle{AKN}\), так как данные углы являются накрест лежащими. Значит,
Доказательство 11 пункт:
Пусть \(ABCD\) — дельтоид, причём \(BC = AB\) и \(AD = CD\). Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\).
Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам.
Отсюда получаем, что \(\angle{CBD} = \angle{DBA}\) и \(\angle{ADB} = \angle{CDB}\).
\(\Box\)
Доказательство 12 пункт:
Пусть \(E\) — точка пересечения диагоналей дельтоида. Тогда \(BE\) и \(DE\) — биссектрисы равнобедренных треугольников \(BAC\) и \(DAC\) соответственно.
Эти биссектрисы проведены к основаниям равнобедренных треугольников, а значит, они также являются высотами.
\(\Box\)
Доказательство:
Центр вписанной в дельтоид окружности лежит на биссектрисе угла \(\angle{B}\), то есть \(\angle{CBO} = \angle{ABO}\).
Рассмотрим треугольники \(CBO\) и \(ABO\). \(AB = BC\) и \(BO\) — общая сторона для этих треугольников.
Тогда получаем, что данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \(CO = OA\).
\(\Box\)
Доказательство:
Пусть вокруг дельтоида \(ABCD\) можно описать окружность, причём \(AB = BC\) и \(AD = CD\).
Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\). Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит,
они равны по трём сторонам, значит, \(\angle{BCD} = \angle{BAD}\).
Так как вокруг данного дельтоида можно описать окружность, то
\(\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}\), но тогда \(\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}\).
Обратно, если у дельтоида \(ABCD\) \(\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}\), то
\(\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}\), значит,
вокруг дельтоида можно описать окружность.
\(\Box\)
\(\Box\)