Top.Mail.Ru

Планиметрия

Основные
четырёхугольники

Другие бесплатные материалы от Профиматики
Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Katex

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

▶ 1. Диагонали прямоугольника равны.

Katex

Ромбом называется параллелограмм у которого все стороны равны.

▶ 2. Диагонали ромба перпендикулярны.

Katex

▶ 3. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Katex

▶ 4. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^{\circ}\), а противоположные углы равны.

Обратно: если в четырёхугольнике сумма любых двух соседних углов равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Katex

▶ 5. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Katex

▶ 6. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

Обратно: если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Katex

▶ 7. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Katex

▶ 8. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Katex

▶ 9. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Обратно: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Katex

▶ 11. Одна из диагоналей дельтоида является биссектрисой двух его углов.

▶ 12. Диагонали дельтоида перпендикулярны.

Katex

▶ 13. В дельтоид \(ABCD\) можно вписать окружность. Если \(AB = BC\), \(AD = DC\) и \(O\) - центр вписанной окружности, то \(CO = OA\).

Katex

▶ 14. Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по \(90^{\circ}\).

Katex

▶ 10. Пусть в параллелограмме проведена биссектриса угла \(D\). Тогда треугольники \(DCN\), \(NBK\), \(DAK\) - равнобедренные.

Katex

Дельтоидом называется четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.

Katex

Доказательство:

\(ABCD\) - прямоугольник, следовательно, \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\). Получаем, что треугольники \(BAD\) и \(ADC\) равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому \(AC = BD\).

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Пусть \(E\) - точка пересечений диагоналей ромба. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть \(AE = EC\) и \(BE = ED\). Треугольник \(ABC\) является равнобедренным, причём \(BE\) - медиана треугольника \(ABC\), проведённая к основанию, а значит, она также является высотой, поэтому отрезок \(BE\) перпендикулярен отрезку \(AC\), а значит, \(BD\) перпендикулярен \(AC\).

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ADC\), \(DCB\) являются равнобедренными, поэтому их медианы \(BE\), \(AE\), \(DE\) и \(CE\) также являются биссектрисами, а значит, \(\angle{ABE} = \angle{CBE}\), \(\angle{BAE} = \angle{DAE}\), \(\angle{ADE} = \angle{CDE}\) и \(\angle{BCE} = \angle{DCE}\).

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Углы \(A\) и \(B\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\). По тем же причинам сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^{\circ}\), в частности, верно, что \(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ}\). А значит, \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - \angle{BAD} = \angle{ABC}\). Аналогично получим, что \(\angle{BAD} = \angle{BCD}\).

Докажем обратное утверждение. Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) сумма любых двух соседних углов равна \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}\), причём эти углы являются внутренними односторонними при прямых \(BC\), \(AD\) и секущей \(AB\). Отсюда получаем, что отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны. Аналогично можем доказать, что параллельны отрезки \(AB\) и \(CD\).

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что

\(\angle{DAB} + \angle{ABC} + \angle{BCD} + \angle{CDA} = 360^{\circ}.\)

Также мы знаем, что

\(\angle{DAB} = \angle{BCD}\; \text{и} \;\; \angle{ABC} = \angle{CDA}.\)

Отсюда следует, что

\(\angle{DAB} + \angle{ABC} = 180^{\circ}.\)

Аналогично, сумма других соседних углов также равна \(180^{\circ}\), а значит, \(ABCD\) - параллелограмм.

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Углы \(\angle{BAC}\) и \(\angle{ACD}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\). Аналогично доказываем, что \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом сторона \(AC\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по двум углам и стороне между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\) и \(AD = BC\).

Докажем обратное утверждение. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). Мы знаем, что \(AB = CD\) и \(BC = AD\), при этом \(AC\) - общая сторона для наших треугольников. Значит треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам, поэтому \(\angle{BAC} = \angle{ACD}\) и \(\angle{ACD} = \angle{BAC}\), то есть отрезки \(AB\) и \(CD\), \(AD\) и \(BC\) попарно параллельны.

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(AC = BD\). Тогда из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны. Причём \(\angle{BAD} = \angle{ADC}\), но по свойству параллелограмма верно, что

\(\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ},\)

значит \(\angle{BAD} = \angle{ADC} = 90^{\circ}\), поэтому \(ABCD\) - прямоугольник.

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны и равны. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). \(BC\) и \(AD\) параллельны, а значит, \(\angle{BCA} = \angle{CAD}\). При этом \(AD = BC\) и \(AC\) — общая сторона для данных треугольников. Из этого следует, что треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(AB = CD\) и, значит, в \(ABCD\) противоположные стороны равны, то есть \(ABCD\) — параллелограмм.

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\). Углы \(\angle{OAD}\) и \(\angle{OCB}\) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, а значит, \(\angle{OAD} = \angle{OCB}\). По тем же причинам верно, что \(\angle{OBC} = \angle{ODA}\). В параллелограмме противоположные стороны равны, а значит, \(AD = BC\). Таким образом, треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны по двум углам и стороне между ними, поэтому \(AO = OC\) и \(BO = OD\).



Докажем обратное утверждение. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\). Тогда \(AO = OC\) и \(BO = OD\), а также \(\angle{AOD} = \angle{BOC}\), так как они являются вертикальными. Получаем, что треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \(AD = BC\) и \(\angle{OAD} = \angle{OCB}\). Таким образом, отрезки \(AD\) и \(BC\) параллельны и равны, то есть \(ABCD\) — параллелограмм.



\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Заметим, что \(\angle{ADN} = \angle{DNC}\), так как данные углы являются накрест лежащими. То есть \(\angle{DNC} = \angle{NDC}\), значит, треугольник \(DCN\) является равнобедренным.

Углы \(BNK\) и \(DNC\) равны, так как являются вертикальными. \(\angle{NDC} = \angle{AKN}\), так как данные углы являются накрест лежащими. Значит,

\( \angle{AKD} = \angle{ADK} = \angle{BNK} \)
и треугольники \(NBK\) и \(DAK\) являются равнобедренными.



\(\Box\)

Katex

Доказательство 11 пункт:

Пусть \(ABCD\) — дельтоид, причём \(BC = AB\) и \(AD = CD\). Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\). Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам. Отсюда получаем, что \(\angle{CBD} = \angle{DBA}\) и \(\angle{ADB} = \angle{CDB}\).



\(\Box\)





Доказательство 12 пункт:

Пусть \(E\) — точка пересечения диагоналей дельтоида. Тогда \(BE\) и \(DE\) — биссектрисы равнобедренных треугольников \(BAC\) и \(DAC\) соответственно. Эти биссектрисы проведены к основаниям равнобедренных треугольников, а значит, они также являются высотами.

\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Центр вписанной в дельтоид окружности лежит на биссектрисе угла \(\angle{B}\), то есть \(\angle{CBO} = \angle{ABO}\). Рассмотрим треугольники \(CBO\) и \(ABO\). \(AB = BC\) и \(BO\) — общая сторона для этих треугольников. Тогда получаем, что данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \(CO = OA\).



\(\Box\)

Katex

Доказательство:

Пусть вокруг дельтоида \(ABCD\) можно описать окружность, причём \(AB = BC\) и \(AD = CD\). Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(BAD\). Сторона \(BD\) является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам, значит, \(\angle{BCD} = \angle{BAD}\). Так как вокруг данного дельтоида можно описать окружность, то \(\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}\), но тогда \(\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}\).



\(\Box\)

Обратно, если у дельтоида \(ABCD\) \(\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}\), то \(\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}\), значит, вокруг дельтоида можно описать окружность.



\(\Box\)