Планиметрия

Дана равнобедренная трапеция \(A B C D\). На боковой стороне \(A B\) и большем основании \(A D\) взяты соответственно точки \(F\) и \(Е\) так, что \(FE\) параллельно \(CD\), а \(FC=ED\).

а) Докажите, что угол \(B C F\) равен углу \(A F E\).

б) Найдите площадь трапеции \(A B C D\), если \(D E=5 B F, F E=8\) и площадь трапеции \(F C D E\) равна \(27 \sqrt{11}\).

В треугольнике \(A B C\) точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(A B\) и \(B C\) соответственно так, что \(A M: M B=C N: N B=2 : 3\). Окружность, вписанная в треугольник \(A B C\), касается отрезка \(M N\) в точке \(K\).

a) Докажите, что \(A B+B C=4 A C\).

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(A B C\), если \(M K=\dfrac{9}{5}\) и \(K N=3\).

Биссектриса \(B B_{1}\) и высота \(C C_{1}\) треугольника \(A B C\) пересекают описанную окружность в точках \(M\) и \(N\). Известно, что \(\angle B C A=85^{\circ}\) и \(\angle A B C=40^{\circ}\).

а) Докажите, что \(C N=B M\).

б) Пусть \(M N\) и \(B C\) пересекаются в точке \(D\). Найти площадь треугольника \(B D N\), если его высота \(B H\) равна \(7\).

В параллелограмме \(A B C D\) угол \(B A C\) вдвое больше угла \(C A D\). Биссектриса угла \(B A C\) пересекает отрезок \(B C\) в точке \(L\). На продолжении стороны \(C D\) за точку \(D\) выбрана такая точка \(E\), что \(A E=C E\).

a) Докажите, что \(A L \cdot B C=A B \cdot A C\).

б) Найдите \(E L\), если \(A C=8, \ \operatorname{tg} \angle B C A=\dfrac{1}{2}\).

На стороне \(B C\) параллелограмма \(A B C D\) выбрана точка \(M\) такая, что \(A M=M C\).

a) Докажите, что центр вписанной в треугольник \(A M D\) окружности лежит на диагонали \(A C\).

б) Найдите радиус вписанной в треугольник \(A M D\) окружности, если \(A B=5, B C=10, \angle B A D=60^{\circ}.\)

На стороне острого угла с вершиной \(A\) отмечена точка \(B.\) Из точки \(B\) на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры \(B C\) и \(B D\) соответственно.

a) Докажите, что \(A C^{2}+C D^{2}=A D^{2}+D B^{2}\).

б) Прямые \(A C\) и \(B D\) пересекаются в точке \(T\). Найдите отношение \(AT:TC\), если \(\cos \angle A B C=\dfrac{3}{8}\).

В треугольнике \(A B C\) точки \(M\) и \(N\) - середины сторон \(A B\) и \(B C\) соответственно. Известно, что около четырёхугольника \(A M N C\) можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник \(A B C\) - равнобедренный.

б) На стороне \(A C\) отмечена точка \(F\), такая что \(\angle A F B=135^{\circ}\). Отрезок \(B F\) пересекает отрезок \(M N\) в точке \(E\). Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника \(A M N C\), если \(\angle A B C=120^{\circ}\) и \(E F=6 \sqrt{2}\).

В треугольнике \(A B C\) на стороне \(B C\) отметили точку \(D\) так, что \(A B=B D\). Биссектриса \(B F\) пересекает \(A D\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(A D\) опущен перпендикуляр \(C K\).

a) Докажите, что \(A B: B C=A E: E K\).

б) Найдите отношение площади \(A B E\) к площади \(C D E F\), если \(B D: D C=5: 2.\)

Точка \(D\) лежит на основании \(A C\) равнобедренного треугольника \(A B C\). Точки \(I\) и \(J\) - центры окружностей, описанных около треугольников \(A B D\) и \(C B D\) соответственно.

a) Докажите, что прямые \(B I\) и \(D J\) параллельны.

б) Найдите \(I J\), если \(A C=12, \cos \angle B D C=\dfrac{1}{9}\).

B трапеции \(A B C D\) с основанием \(A D\) диагонали пересекаются в точке \(O, \ A D=2 B C\). Через вершину \(A\) проведена прямая параллельная диагонали \(B D\), а через вершину \(D\) проведена прямая параллельная диагонали \(AC\), и эти прямые пересекаются в точке \(E\).

a) Докажите, что \(B O: A E=1: 2\).

б) Прямые \(B E\) и \(C E\) пересекают сторону \(A D\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите \(M N\), если \(A D=10.\)