Планиметрия

ЕГЭ 2021

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex Дана трапеция \(A B C D\) с большим основанием \(A D\), вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции \(B H\) пересекает окружность в точке \(K\).
a) Докажите, что отрезки \(A C\) и \(A K\) перпендикулярны.
б) Найдите \(A D\), если радиус описанной окружности равен 6 , угол \(B A C\) составляет \(30^{\circ}\), отношение площадей \(B C N H\) к \(N K H\) равно 35 , где \(N\) -- точка пересечения отрезков \(A D\) и \(C K\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 2

Katex Трапеция \(A B C D\) с большим основанием \(A D\) и высотой \(B H\) вписана в окружность. Прямая \(B H\) вторично пересекает эту окружность в точке \(K\).
a) Докажите, что прямые \(A C\) и \(A K\) перпендикулярны.
б) Прямые \(C K\) и \(A D\) пересекаются в точке \(N\). Найдите \(A D\), если радиус окружности равен \(12, \angle B A C=30^{\circ}\), а площадь четырёхугольника \(B C N H\) в 8 раз больше площади треугольника \(K N H\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex Дан параллелограмм \(A B C D\) с острым углом \(A\). На продолжении стороны \(A D\) за точку \(D\) взята точка \(N\) такая, что \(C N=C D\), а на продолжении стороны \(C D\) за точку \(D\) взята такая точка \(M\), что \(A D=A M\).
а) Докажите, что \(B M=B N\).
б) Найдите \(M N\), если \(A C=4, \sin \angle B A D=\frac{8}{17}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex Дан параллелограмм \(A B C D\) с острым углом \(A\). На продолжении стороны \(A D\) за точку \(D\) взята точка \(N\) такая, что \(C N=C D\), а на продолжении стороны \(C D\) за точку \(D\) взята такая точка \(M\), что \(A D=A M\).
a) Докажите, что \(B M=B N\).
б) Найдите \(M N\), если \(A C=7, \sin \angle B A D=\frac{7}{25}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 5

Katex Отрезок \(C H\) -- высота прямоугольного треугольника \(A B C\) с прямым углом \(C\). На катетах \(A C\) и \(B C\) выбраны точки \(M\) и \(N\) соответственно такие, что \(\angle M H N=90^{\circ}\).
a) Докажите, что треугольник \(M N H\) подобен треугольнику \(A B C\).
б) Найдите \(C N\), если \(B C=3, A C=5, C M=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex Отрезок \(C H\) -- высота прямоугольного треугольника \(A B C\) с прямым углом \(C\). На катетах \(A C\) и \(B C\) выбраны точки \(M\) и \(N\) соответственно такие, что \(\angle M H N=90^{\circ}\).
a) Докажите, что треугольник \(M N H\) подобен треугольнику \(A B C\).
б) Найдите \(C N\), если \(B C=2, A C=4, C M=1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex Дан параллелограмм \(A B C D\) с острым углом \(A\). На продолжении стороны \(A D\) за точку \(D\) взята точка \(M\), такая, что \(C M=C D\), а на продолжении стороны \(C D\) за точку \(D\) взята такая точка \(N\), что \(A D=A N\).
a) Докажите, что \(B M=B N\).
б) Найдите \(M N\), если \(A C=4, \sin \angle B A D=\frac{8}{17}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex Треугольник \(A B C\) прямоугольный с прямым углом \(C\). Проведена высота \(C H\). На сторонах \(A C\) и \(B C\) соответственно отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что угол \(M H N\) прямой.
a) Докажите, что треугольники \(M N H\) и \(A B C\) подобны.
б) Найдите \(B N\), если \(A M=9, M C=3, B C=8\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 9

Katex Треугольник \(A B C\) прямоугольный с прямым углом \(C\). Проведена высота \(C H\). На сторонах \(A C\) и \(B C\) соответственно отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что угол \(M H N\) прямой.
a) Докажите, что треугольники \(M N H\) и \(A B C\) подобны.
б) Найдите \(B N\), если \(A C=5, M C=2, B C=3\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 10

Katex Дан параллелограмм \(A B C D\) с острым углом \(A\). На продолжении стороны \(A D\) за точку \(D\) взята точка \(N\), такая, что \(C N=C D\), а на продолжении стороны \(C D\) за точку \(D\) взята такая точка \(M\), что \(A D=A M\).
a) Докажите, что \(B M=B N\).
б) Найдите \(M N\), если \(A C=7, \sin \angle B A D=\frac{7}{25}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 11

Katex Дана трапеция \(A B C D\), где \(A B=B C=C D\), точка \(E\) лежит на плоскости так, что \(B E \perp A D\) и \(C E \perp B D\).
a) Докажите, что углы \(A E B\) и \(B D A\) равны.
б) Найдите площадь трапеции, если \(A B=50\), а \(\cos A E B=\frac{4}{5}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 12

Katex Дана трапеция \(A B C D\), где \(A B=B C=C D\), точка \(E\) лежит на плоскости так, что \(B E \perp A D\) и \(C E \perp B D\)
a) Доказать, что \(\angle A E B=\angle B D A\)
б) Найти площадь \(A B C D\), если \(A B=72, \cos A E B=\frac{5}{6}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 13

Katex Отрезок \(C H\) -- высота прямоугольного треугольника \(A B C\) с прямым углом \(C\). На катетах \(A C\) и \(B C\) выбраны точки \(M\) и \(N\) соответственно такие, что \(\angle M H N=90^{\circ}\).
a) Докажите, что треугольник \(M N H\) подобен треугольнику \(A B C\).
б) Найдите \(C N\), если \(B C=3, A C=5, C M=2\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 14

Katex Окружность с центром \(O\), построенная на катете \(A C\) прямоугольного треугольника \(A B C\) как на диаметре, пересекает гипотенузу \(A B\) в точках \(A\) и \(D\). Касательная проведенная к этой окружности в точке \(D\), пересекает катет \(B C\) в точке \(M\).
a) Докажите, что \(B M=C M\).
б) Прямая \(D M\) пересекает прямую \(A C\) в точке \(P\), прямая \(O M\) пересекает прямую \(B P\) в точке \(K\). Найдите \(B K: K P\), если \(\cos \angle B A C=\frac{4}{5}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 15

Katex Окружность с центром \(O\), построенная на катете \(A C\) прямоугольного треугольника \(A B C\) как на диаметре, пересекает гипотенузу \(A B\) в точках \(A\) и \(D\). Касательная проведенная к этой окружности в точке \(D\), пересекает катет \(B C\) в точке \(M\).
a) Докажите, что \(B M=C M\).
б) Прямая \(D M\) пересекает прямую \(A C\) в точке \(P\), прямая \(O M\) пересекает прямую \(B P\) в точке \(K\). Найдите \(B K: K P\), если \(\cos \angle B A C=\frac{2 \sqrt{5}}{5}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 16

Katex Высоты \(B B_1\) и \(C C_1\) остроугольного треугольника \(A B C\) пересекаются в точке \(H\). Отрезок \(A P\) -- диаметр окружности, описанной около треугольника \(A B C\).
a) Докажите, что прямая \(H P\) пересекает отрезок \(B C\) в его середине.
б) Луч \(P H\) вторично пересекает окружность, описанную около треугольника \(A B C\), в точке \(M\). Найдите длину отрезка \(M C_1\), расстояние от центра этой окружности до прямой \(B C\) равно \(4, \angle B P H=120^{\circ}\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса