Успей присоединиться к Годовому курсу до старта
Лови выгоду!
от 5 499 руб.
математика
физика
информатика
русский язык
обществознание
Пиши «SCHOOL» и забронируй место. Экономия до 20 000 рублей
Места уходят каждый час!
Запишитесь на бесплатный урок
Стереометрия
ЕГЭ 2020
Другие бесплатные материалы от Профиматики
Наши соцсети:
Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам
Задание 1
a) Докажите, что плоскость \(M K D\) перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды \(C D K M\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 2
В правильной четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) сторона основания \(A B=4\), а боковое ребро \(S A=7\). На рёбрах \(A B\) и \(S B\) от- В правильной четырёхугольной пирамиде \(\stackrel{harpoonup}{S} A B C \tilde{C}\) сторона основания \(A B=8\), а боковое ребро \(S A=7\). На рёбрах \(A B\) и \(S B\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(A M=2, S K=1\).
a) Докажите, что плоскость \(C K M\) перпендикулярна плоскости \(A B C\).
б) Найдите объём пирамиды \(B C K M\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 3
Дана правильная треугольная пирамида \(S A B C\) в которой \(A B=9\), точка \(M\) лежит на ребре \(A B\) так, что \(A M=8\). Точка \(K\) делит сторону \(S B\) так, что \(S K: K B=7: 3\). Ребро \(S A=\sqrt{43}\). Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(\alpha\), которая перпендикулярна плоскости \(A B C\).
a) Докажите, что точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
б) Найдите площадь сечения \(\alpha\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 4
В правильной шестиугольной пирамиде \(S A B C D E F\) боковое ребро \(S A=14\), а сторона \(A B=8\). Точка \(M\) середина стороны \(A B\) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(D\) и перпендикулярна плоскости \(A B C\). Прямая \(S C\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).
a) Докажите, что \(M K=K D\).
б) Найдите объем пирамиды \(M C D K\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 5
a) Докажите, что проекции отрезков \(M N\) и \(A S\) на плоскость \(A B C\) равны.
б) Найдите объем пирамиды \(S A B C\), если \(A S=8, M N=5\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 6
В правильной четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) сторона основания \(A B\) равна 4 , а боковое ребро \(S A\) равно 7. На рёбрах \(C D\) и \(S C\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(D N: N C=S K: K C=1: 3\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(K N\) и параллельна прямой \(B C\).
a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(S A\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(S B C\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 7
В правильной треугольной призме \(A B C A_1 B_1 C_1\) сторона \(A B\) основания равна 8 , а боковое ребро \(A A_1\) равно 7 . На ребре \(C C_1\) отмечена точка \(M\), причем \(C M=1\).
a) Точки \(O\) и \(O_1\) - центры окружностей, описанных около треугольников \(A B C\) и \(A_1 B_1 C_1\) соответственно. Докажите, что прямая \(O O_1\) содержит точку пересечения медиан треугольника \(A B M\).
б) Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(A B M\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 8
Дана правильная треугольная призма \(A B C A_1 B_1 C_1\) в которой \(A B=6\) и \(A A_1=3\). Точки \(O\) и \(O_1\) являются центрами окружностей, описанных около треугольников \(A B C\) и \(A_1 B_1 C_1\) сответственно. На ребре \(C C_1\) отмечена точка \(M\) такая что \(C M=1\).
a) Докажите, что прямая \(O O_1\) содержит точку пересечения медиан треугольника \(A B M\).
б) Найдите объем пирамиды \(A B M C_1\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 9
Дана правильная треугольная призма \(A B C A_1 B_1 C_1\), в которой \(A B=1\) и \(A A_1=3\). Точки \(O\) и \(O_1\) являются центрами окружностей, описанных около треугольников \(A B C\) и \(A_1 B_1 C_1\) сответственно. На ребре \(C C_1\) отмечена точка \(M\) такая что \(C M=2\).
a) Докажите, что прямая \(O O_1\) содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника \(A B M\).
б) Найдите объем пирамиды \(A B M C_1\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 10
Дана правильная треугольная призма \(A B C A_1 B_1 C_1\), в которой сторона основания \(A B=4\), боковое ребро \(A A_1=2 \sqrt{7}\). Точка \(Q\) - точка пересечения диагоналей грани \(A B B_1 A_1\), точки \(M, N\) и \(K\) - середины \(B C, C C_1\) и \(A_1 C_1\) сответственно.
a) Докажите, что точки \(Q, M, N\) и \(К\) лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения \(Q M N\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 11
Объем куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) с нижним основанием \(A B C D\) равен 27 . Над плоскостью верхнего основания отмечена точка \(E\) такая, что \(B E=\sqrt{41}\) и \(C E=5 \sqrt{2}\).
a) Докажите, что плоскость \(A B B_1\) проходит через точку \(E\).
б) Найдите расстояние от точки \(D_1\) до плоскости \(E B C\), если объем \(E A_1 B_1 C_1\) в 2 раза меньше объема \(E B C C_1\).
Показать ответ и решение
Ответ:
Задание 12
В правильной четырехугольной призме \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) точка \(K-\) середина ребра \(A B\), точка \(P-\) середина ребра \(B C\). Через точки \(K, P, D_1\) проведена плоскость \(\alpha\).
a) Докажите, что сечение призмы плоскостью \(\alpha\) можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая - равнобокая трапеция.
б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью \(\alpha\), если известно, что сторона основания призмы равна 8 , а боковое ребро равно 6.
Показать ответ и решение
Ответ:
⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ
Бесплатный пробный урок любого курса