Стереометрия

ЕГЭ 2021

Telegram основной

ВКонтакте

Telegram основной

Другие бесплатные материалы от Профиматики

Telegram для преподавателей

⬈

Наши соцсети:

Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам

Задание 1

Katex В правильной четырехугольной пирамиде \(S A B C D\) проведена высота \(S H . K\) - середина ребра \(S D, N\) - середина ребра \(C D\). Плоскость \(A B K\) пересекает ребро \(S C\) в точке \(P\).
a) Докажите, что прямая \(P K\) делит отрезок \(N S\) пополам.
б) Найдите расстояние от точки \(P\) до плоскости \(A B S\), если \(S H=15, C D=16\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 2

Katex

В правильной четырехугольной пирамиде \(S A B C D\) сторона основания \(A D=14\), высота \(S H=24\). Точка \(P\) - середина бокового ребра \(S D\), а точка \(N\) - середина ребра \(C D\). Плоскость \(A B P\) пересекает боковое ребро \(S C\) в точке \(K\).

a) Докажите, что прямая \(K P\) пересекает отрезок \(S N\) в его середине.

б) Найдите расстояние от точки \(K\) до плоскости \(A B S\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 3

Katex

Дана правильная треугольная пирамида \(S A B C, A B=24\), высота \(S H\), проведённая к основанию, равна 14 , точка \(K\) - середина \(A S\), точка N - середина \(B C\). Плоскость, проходящая через точку \(K\) и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра \(S B\) и \(S C\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.

a) Докажите, что \(P Q\) проходит через середину отрезка \(S N\).

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью \(A P Q\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 4

Katex

В основании треугольной пирамиды \(S A B C\) лежит прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C\). Основание высоты \(S O\) этой пирамиды является серединой ребра \(A B\).

a) Докажите, что \(S A=S C\).

б) Найдите угол между плоскостями \(S A C\) и \(A B C\), если \(A C=16, A B=20, S A=26\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Марафоны Профиматики

прокачай свои навыки решения сложных задач

Задание 5

Katex

В основании треугольной пирамиды \(S A B C\) лежит прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C\). Основание высоты \(S O\) этой пирамиды является серединой ребра \(A B\).

a) Докажите, что \(S A=S C\).

б) Найдите угол между плоскостями \(S A C\) и \(A B C\), если \(A B=30, S C=17, C B=24\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 6

Katex

В основании правильной треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) лежит треугольник \(A B C\). На прямой \(A A_1\) отмечена точка \(D\) так, что \(A_1\) - середина \(A D\). На прямой \(B_1 C_1\) отмечена точка \(E\) так, что \(C_1\) - середина \(B_1 E\).

a) Докажите, что прямые \(A_1 B_1\) и \(D E\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(A B\) и \(D E\), если \(A B=4\), а \(A A_1=1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 7

Katex

В основании правильной треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) лежит треугольник \(A B C\). На прямой \(A A_1\) отмечена точка \(D\) так, что \(A_1\) - середина \(A D\). На прямой \(B_1 C_1\) отмечена точка \(E\) так, что \(C_1\) - середина \(B_1 E\).

a) Докажите, что прямые \(A_1 B_1\) и \(D E\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(A B\) и \(D E\), если \(A B=3\), а \(A A_1=1\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

Задание 8

Katex

Точка \(E\) лежит на высоте \(S O\), а точка \(F\) - на боковом ребре \(S C\) правильной четырёхугольной пирамиды \(S A B C D\), причём \(S E: E O=S F: F C=2: 1\).

a) Докажите, что плоскость \(B E F\) пересекает ребро \(S D\) в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(B E F\), если \(A B=8, S O=14\).

Показать ответ и решение

+

Ответ:

⚡️ протестируй свой уровень
⚡️ посмотри курс изнутри
⚡️ забери задания и методички
⚡️ получи четкий план подготовки
⚡️ пообщайся с экспертами ЕГЭ

Бесплатный пробный урок любого курса