В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскость \(\alpha\) выходит из вершины \(B_1\) и \(D\), пересекает стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно и является ромбом.
a) Докажите, что \(M -\) середина ребра \(AA_1\).
б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна \(3\), а площадь сечения равна \(6\).
\(3\sqrt{2}\)
В прямоугольном параллелепипеде \(ACBDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(AB=3 AD = 4, AA_1 = 6\).
Через точки \(B_1\) и \(D\) параллельно \(AC\) проведена плоскость, пересекающая ребро \(CC_1\) в точке \(K\).
a) Докажите, что \(K -\) середина \(CC_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения.
\(\dfrac{12}{\sqrt{41}}\)
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) равны \(10\). Точка \(O -\) центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \(SA\) и проходящая через точку \(O\), пересекает рёбра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=2:3\).
a) Докажите, что точка \(M - \) середина ребра \(SC\).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(OMN\) пересекает грань \(SBC\).
\(\sqrt{21}\)
Дана правильная пирамида \(SABC\), точки \(K\) и \(M -\) середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. Точки \(N\) и \(L\) на сторонах \(BC\) и \(SA\) соответственно расположены таким образом, что \(LA=4SL\) и прямые \(NL\) и \(MK\) пересекаются.
a) Докажите, что прямые \(LK, MN\) и \(BS) пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение \(CN:NB\).
\(1:4\)
Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник со сторонами \(AB=24, BC=7\). Боковые рёбра \(SA=\sqrt{51}, SB=\sqrt{627}, SD=10\).
a) Докажите, что \(SA -\) высота пирамиды.
б) Найдите угол между \(SC\) и \(BD\).
\(\dfrac{527}{650}\)
Дана четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с прямоугольником \(ABCD\) в основании. \(SA = 15, SB = 17, AB = 8, BC = \sqrt{15}, SD = 4\sqrt{15}\).
a) Докажите, что \(SA -\) высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(SBC\).
\(\dfrac{120}{17}\)
В тетраэдре \(A B C D\) ребро \(A D=4\), а все остальные рёбра равны \(7\).
a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(A D\) и \(B C\).
\(\dfrac{\sqrt{131}}{2}\)
В тетраэдре \(A B C D\) ребро \(A D=2\), а все остальные рёбра равны \(4\).
a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.
б) Найдите объём тетраэдра \(A B C D\).
\(\dfrac{4\sqrt{11}}{3}\)
Правильные треугольники \(A B C\) и \(A B M\) лежат в перпендикулярных плоскостях, \(A B=10 \sqrt{3}\). Точка \(P -\) середина \(A M\), а точка \(T\) делит отрезок \(B M\) так, что \(B T: T M=3: 1\).
a) Докажите, что плоскость \((C P T)\) делит высоту \(M D\) треугольника \(A M B\) в отношении \(1: 2\), считая от точки \(M\).
б) Вычислите объём пирамиды \(M P T C\).
\(\dfrac{375\sqrt{3}}{8}\)
В правильном тетраэдре \(A B C D\) точки \(M\) и \(N\) расположены на серединах рёбер \(A B\) и \(C D\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит параллельно \(A B\) и \(CD\).
a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна \(M N\).
б) Плоскость \(\alpha\) пересекает \(A C\) и \(M N\) в точках \(L\) и \(K\) соответственно. Найдите \(A L\), если \(M K=1\), а \(K N=2\).
\(\sqrt{2}\)