Хочешь больше полезных материалов? Переходи по ссылкам


Задание 1
Katex

В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскость \(\alpha\) выходит из вершины \(B_1\) и \(D\), пересекает стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно и является ромбом.

a) Докажите, что \(M -\) середина ребра \(AA_1\).

б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна \(3\), а площадь сечения равна \(6\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(3\sqrt{2}\)

Задание 2
Katex

В прямоугольном параллелепипеде \(ACBDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(AB=3 AD = 4, AA_1 = 6\). Через точки \(B_1\) и \(D\) параллельно \(AC\) проведена плоскость, пересекающая ребро \(CC_1\) в точке \(K\).

a) Докажите, что \(K -\) середина \(CC_1\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения.

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{12}{\sqrt{41}}\)

Задание 3
Katex

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) равны \(10\). Точка \(O -\) центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \(SA\) и проходящая через точку \(O\), пересекает рёбра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=2:3\).

a) Докажите, что точка \(M - \) середина ребра \(SC\).

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(OMN\) пересекает грань \(SBC\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\sqrt{21}\)

Задание 4
Katex

Дана правильная пирамида \(SABC\), точки \(K\) и \(M -\) середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. Точки \(N\) и \(L\) на сторонах \(BC\) и \(SA\) соответственно расположены таким образом, что \(LA=4SL\) и прямые \(NL\) и \(MK\) пересекаются.

a) Докажите, что прямые \(LK, MN\) и \(BS) пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение \(CN:NB\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(1:4\)

Задание 5
Katex

Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник со сторонами \(AB=24, BC=7\). Боковые рёбра \(SA=\sqrt{51}, SB=\sqrt{627}, SD=10\).

a) Докажите, что \(SA -\) высота пирамиды.

б) Найдите угол между \(SC\) и \(BD\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{527}{650}\)

Задание 6
Katex

Дана четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с прямоугольником \(ABCD\) в основании. \(SA = 15, SB = 17, AB = 8, BC = \sqrt{15}, SD = 4\sqrt{15}\).

a) Докажите, что \(SA -\) высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(SBC\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{120}{17}\)

Задание 7
Katex

В тетраэдре \(A B C D\) ребро \(A D=4\), а все остальные рёбра равны \(7\).

a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(A D\) и \(B C\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{\sqrt{131}}{2}\)

Задание 8
Katex

В тетраэдре \(A B C D\) ребро \(A D=2\), а все остальные рёбра равны \(4\).

a) Докажите, что прямые \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны.

б) Найдите объём тетраэдра \(A B C D\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{4\sqrt{11}}{3}\)

Задание 9
Katex

Правильные треугольники \(A B C\) и \(A B M\) лежат в перпендикулярных плоскостях, \(A B=10 \sqrt{3}\). Точка \(P -\) середина \(A M\), а точка \(T\) делит отрезок \(B M\) так, что \(B T: T M=3: 1\).

a) Докажите, что плоскость \((C P T)\) делит высоту \(M D\) треугольника \(A M B\) в отношении \(1: 2\), считая от точки \(M\).

б) Вычислите объём пирамиды \(M P T C\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\dfrac{375\sqrt{3}}{8}\)

Задание 10
Katex

В правильном тетраэдре \(A B C D\) точки \(M\) и \(N\) расположены на серединах рёбер \(A B\) и \(C D\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит параллельно \(A B\) и \(CD\).

a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна \(M N\).

б) Плоскость \(\alpha\) пересекает \(A C\) и \(M N\) в точках \(L\) и \(K\) соответственно. Найдите \(A L\), если \(M K=1\), а \(K N=2\).

Показать ответ и решение
+
Ответ:
Katex

\(\sqrt{2}\)