Планиметрия
Треугольники
общего вида
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
▶ 1. Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^{\circ}\).
▶ 2. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
▶ 3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащим к ней углам. Если сторона и прилежащие к ней углы равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Замечание: На самом деле ситуация, в которой один угол прилёг к стороне, а второй - нет, также приводит к равенству треугольников, так как оставшийся угол задаётся однозначно по двум известным.
Ситуация, в которой одна из пар равных углов прилегает к равной стороне, а вторая пара равных углов нет, тоже приводит к равенству треугольников. Действительно, пусть нам даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), причём \(\angle{A} = \angle{A_1}\), \(\angle{B} = \angle{B_1}\), \(AC = A_1C_1\), тогда
▶ 4. Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
▶ 5. Если две стороны и угол напротив одной из сторон первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу второго треугольника, то возможны два варианта:
1) Углы напротив второй стороны равны \(\Longleftrightarrow\) треугольники равны
2) Углы напротив второй стороны дополняют друг друга до \(180^{\circ}\) \(\Longleftrightarrow\) треугольники не равны (кроме случая прямоугольного треугольника).
Замечание:
Покажем, почему в четвёртом признаке равенства треугольников возникает два случая. Пусть длина стороны \(AB\) равна \(a\), длина стороны \(BC\) равна \(b\) и угол при вершине \(C\) равен \(\alpha\). Построим два разных треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\alpha\): построим угол \(\alpha\) и назовем его вершину \(C\), от вершины \(C\) отложим на одной из сторон угла отрезок, равный по длине \(b\), его концом назовём точку \(B\), через вершину \(B\) проведём окружность радиуса \(a\), которая может пересечь вторую сторону угла в двух точках (назовём их \(A\) и \(A'\)). Тогда отрезки \(AB\) и \(A'B\) имеют длину \(a\), то есть мы получили два не совпадающих треугольника \(ABC\) и \(A'BC\), которые имеют стороны \(a\), \(b\) и угол \(\alpha\). Именно поэтому в первом признаке равенства треугольников речь идёт об угле между сторонами.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Число \(k\) равное отношению соответственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.
▶ 6. Первый признак подобия двух треугольников: по двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
▶ 7. Второй признак подобия двух треугольников: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
▶ 8. Третий признак подобия двух треугольников: по трём пропорциональным сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
▶ 9. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
▶ 10. Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
▶ 11. Напротив большей стороны треугольника лежит больший угол: если \(b > a\) и \(b > c\), то \(\beta\) - больший угол треугольника.
▶ 12. Неравенство треугольника: сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей стороны, то есть:
▶ 13. Теорема синусов:
Замечание 1: Чаще всего мы используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности.
Замечание 2: А еще мы используем теорему синусов, если знаем в треугольнике два угла и одну сторону и хотим найти еще одну сторону.
▶ 14. Теорема косинусов в произвольном треугольнике верны соотношения:
Теорема косинусов позволяет:
1) найти одну из сторон треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними: \(a = \sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}\);
2) найти угол треугольника, если известны все стороны треугольника: \(\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\);
3) найти одну из сторон треугольника, если известные две стороны и угол не между ними с помощью квадратного уравнения (в этом случае решений может быть два): например, если мы знаем стороны \(b\), \(c\) и угол между сторонами \(a\) и \(c\), то сторону \(a\) мы можем найти из уравнения \(a^2 - 2ac\cos\beta + c^2-b^2 = 0\).
Замечание: Теорема Пифагора - это частный случай теоремы косинусов, действительно, если \(c\) - гипотенуза, \(a\), \(b\) - катеты, получаем \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{90^0} = a^2 + b^2\), так как \(\cos{90^{\circ}} = 0\).
▶ 15. Пусть \(c\) - большая сторона треугольника, тогда
1) если \(c^2 > a^2 + b^2\), то \(\cos{\gamma} < 0\), значит треугольник тупоугольный;
2) если \(c^2 = a^2 + b^2\), то \(\cos{\gamma} = 0\) треугольник прямоугольный;
3) если \(c^2 < a^2 + b^2\), то \(\cos{\gamma} > 0\), значит угол \(\gamma\) - острый. Так как \(\gamma\) лежит напротив бОльшей стороны, то \(\gamma\) самый большой угол в треугольнике, а значит треугольник остроугольный.
▶ 16. Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник \(ABC\), причем \(C'\) - это точка ее пересечения со стороной \(AB\), \(A'\) - точка ее пересечения со стороной \(BC\) и \(B'\) - точка ее пересечения с продолжением стороны \(AC\). Тогда имеет место соотношение:
Обратно, пусть точки \(A'\), \(B'\), \(C'\) лежат на сторонах треугольника или на их продолжениях, тогда если верно соотношение
то точки \(A'\), \(B'\), \(C'\) лежат на одной прямой.
Замечание 1. Теорему очень легко запомнить, используя следующее мнемоническое правило: «Вершина \(\rightarrow\) точка; точка \(\rightarrow\) вершина», т.е. вначале мы выбираем стартовую вершину (в нашем случае это вершина \(A\)) и идем из нее в точку пересечения прямой и стороны треугольника, выходящей из вершины \(A\) (в нашем случае в \(C'\)), из нее во вторую вершину треугольника на этой стороне (в нашем случае \(B\)) и т.д.
Замечание 2. Если бы из \(A\) мы пошли в \(B'\), ничего бы не изменилось. Наша теорема выглядела бы так:
Чевианой будем называть любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной.
▶ 17. Теорема Чевы. Если три чевианы \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), проведённые из разных вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то выполнено соотношение:
Обратно, если выполнено соотношение
то чевианы пересекаются в одной точке.
Замечание. Теорему Чевы можно запомнить ровно так же, как и теорему Менелая: то есть вначале мы выбираем стартовую вершину (в нашем случае это вершина \(A\)) и идем из нее в точку пересечения чевианы и стороны треугольника, выходящей из вершины \(A\) (в нашем случае в \(C'\)), из нее во вторую вершину треугольника на этой стороне (в нашем случае \(B\)) и т.д.
Прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром.
▶ 18. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре.
Обратно, если точка лежит на серединном перпендикуляре к некоторому отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка.
▶ 19. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной вокруг треугольника окружности.
